Eine Polynomfunktion 4.Grades kann 3 Extrempunkte haben, aber keine Wendestellen ist Wahr oder Falsch kann des mir jemand erklären warum?
Hi, ich habe Frage schon mal gestellt, aber nicht vollständig, da in Word es verplämpert wurde deswegen möchte ich sie nun erneut und vollständig stellen.
Danke im vorraus
6 Antworten
Es geht ja nur um die Aussagelogik:
Wenn sie 3 Extremstellen hat müssen dies zwei gleichartige und eine andere sein. Somit MUSS zwischen einem Tief- und einem Hochpunkt eine Wendestelle sein.
Also ist die Aussage falsch.
...oder habe ich den Beitrag von LUKE falsch interpretiert???
Will er mit seinem Beispiel bahaupten es gäbe keine Wendestelle?
So habe ich es zumindest verstanden, dass das behauptet. Könnte auch sein, dass ich das falsch verstanden habe.
o.k. sonst würde auch eine konkretes Beispiel keinen Sinn machen, wenn es nicht als Gegenbeispiel gemeint wäre.
ah... jetzt verstehe ich, was du meintest... mit „gleichartig“ meinst du, dass beide ein (lokales) Minimum oder Maximum sind...
Mit "gleichartig" wollte ich ausdrücken, dass es ZWEI Minima und ein Maximum oder ZWEI Maxima und ein Minimum geben muß, anders kann man die drei nicht aufteilen. Also zwei gleiche von der einen und eines von der anderen Sorte.
Dein Beispiel stellt den Fall dar, wo ein Punkt gleichzeitig lokales Minimum und lokalen Maximum ist - ich gebe zu den fall hatte ich übersehen. Aber dort ist dieser Punkt auch direkt auch ein Wendepunkt. Also ist dies kein Beipiel für "keine Wendestellen".
ok... hab ich jetzt verstanden...
aber: wo hat mein WA Plot ein lokales Minimum und Maximum am selben Punkt?
und: ja: Wendestellen sind z. B. über den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung definiert...
ich bin irgendwie über das Wort „gleichartig“ gestolpert... aber anhand des Beispiels und der weiteren Erläuterung hab ich jetzt verstanden, was gemeint war...
Zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt muss es eine Wendestelle geben, da sich das Krümmungsverhalten des Graphen der Funktion ändert. Daher ist die Aussage falsch.
Bei gebrochen-rationalen Funktionen gibt es welche, die Extrema, aber keine Wendepunkte besitzen.
Bei ganzrationalen Funktionen, also Polynomfunktionen, gibt es zwischen zwei Extrema immer mindestens einen Wendepunkt.
🤓
Du kannst dir allgemein merken, dass es zwischen zwei Extrempunkten immer einen Wendepunkt geben MUSS
Somit ist eine Polynomfunktion 4. Grades mit 3 Extremstellen und ohne Wendepunkte unmöglich bzw existiert nicht.
was ist eine Wendestelle? Überprüf doch einfach die Definition und sag uns dann, wo es hakt...
Er hat aber keine bestimmte Funktion gegeben. Es geht hier um die Aussagelogik.
Man muss auch keine konkrete Funktion gegenhaben wenn man die Definition anwendet. Es reicht sich z.B das Krümmungsverhalten an lokalen Maxima und Minima anzuschauen und zu wissen dass an einem Wendepunkt sich das Krümmungsverhalten ändert. Deshalb heißt er ja so. Oder man überlegt sich die Werte der Ableitung an Extremstellen und dass an Wendepunkten die Ableitung wiederum einen Extremwert hat.
Diese Logik habe ich ja oben in meiner eigenen Antwort angewendet.
Das Wort "überprüfe" paßt eben nicht, wenn man keine Funktionsbeschreibung hat.
die konkretest mögliche Funktion wäre a·x^4 + b·x³ + c·x² + d·x + e = f(x) mit a,b,c,d,e,x aus den reellen Zahlen...
und dann zweimal ableiten... und dann nach dem Vorzeichenwechsel an den Nullstellen gucken... wenn da was möglich ist, dann hat man's doch oder?
https://de.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt#Notwendiges_Kriterium
echt? https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+y%3D%28x-1%29%28x-2%29%28x%2B1%29%28x%2B2%29
zwei Minimalstellen und ein lokales Maximum...