Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen größer als 8 ist, gegeben, die erste Zahl ist größer 4?
7 Antworten
Hallo,
wenn der erste Wurf eine höhere Zahl als 4 ergeben hat, kann das nur eine 5 oder eine 6 sein.
Bei einer 5 ergeben eine 4, 5 oder 6 im zweiten Wurf eine höhere Summe als 8, bei einer 6 die 3, 4, 5 oder 6.
Da die 5 oder die 6 im ersten Wurf mit gleicher Wahrscheinlichkeit kommen - da die Zahl nur höher als 4 sein darf, kann man so tun, als hätte man einen Würfel mit 3 Fünfen und 3 Sechsen - ergibt sich eine Gesamtwahrscheinlichkeit von
(1/2)*(1/2)+(1/2)*(2/3)=1/4+1/3=7/12.
Herzliche Grüße,
Willy
Du vergißt die Anfangsbedingung: Der erste Wurf war eine Zahl, die höher als 4 ist. Die Zahlen 1 bis 4 sind also schon aus dem Spiel.
danke für die antwort.
ich ahne diese logik nur aus der ferne.
ein würfel bleibt doch dennoch ein würfel - und wenn der gewürfelt wird, gibt es doch dennoch beim ersten wurf 6 möglichkeiten.
ja, für uns zählen nur alle augen >4, jedoch ändert sich beim ersten wurf nichts daran, dass die 5 eine wsk von 1/6 hat, genau wie die 6.
ich würfel doch nicht mit einem würfel der nur 2 seiten hat, es ist ja keine münze.
Das ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Der erste Wurf ist bereits gefallen und Du weißt, daß es eine 5 oder 6 war. Die Wahrscheinlichkeit für 1 bis 4 liegt demnach bei 0, so daß für 5 und 6 jeweils 1/2 bleibt. Es werden also ausschließlich die Fälle betrachtet, in denen zu Beginn eine 5 oder 6 gefallen ist. Alles andere bleibt außen vor und fließt nicht in die Berechnung ein.
ah ok. also das würfelkonzept mit seinen 6 seiten ist somit nicht mehr gültig, da man hier lediglich die bedingungen von 2 zahlen hat, die rein logisch nichts mehr mit einem würfel zu tun haben.
ok, als nichtabstrakt'ler werde ich diesen fall einfach als schablone abspeichern. sinn macht es, jedoch wäre ich hier niemals draufgekommen.
danke
Ja, sobald es an die bedingten Wahrscheinlichkeiten geht, muß man länger nachdenken. Ist aber auch Gewohnheitssache. Je länger man sich damit beschäftigt, desto einsichtiger wird es.
Du kannst drei Fünfen und drei Sechsen auf den Würfel malen, dann paßt es. Du kannst aber auch einfach zu Beginn eine Münze werfen. Läuft aufs Gleiche hinaus.
lediglich irritiert mich hier nun die umsetztung des baumdiagramms.
also ich muss für ein baumdiagram nun tatsächlich das konzept des würfels sein lassen, den gedanken eines würfels sein lassen,und lediglich mit den beiden zahlen 5 und 6 als grundlage beginnen, ein baumdiagramm zu zeichnen, nicht wahr. bzw haben wir das ja nun geklärt.
aber kann man einen normalen wurf mit einem würfel und dessen gewünschte resultate 5 und 6 nun zu einem baumdiagramm mit dem "bedingten baumdiagramm" zusammenführen? also man beginnt zb mit wurf 1 und hat alle zahlen von 1-6, welche je 1/6 wsk haben. dann gehen wir an diesem diagramm jedoch nur bei der 5 und 6 weiter - und markieren von diesen jetzigen grundbedingungen ein 1/2 an jeden ast und erweitern diese dann beim 2ten wurf mit 3/6 und 4/6,nicht wahr? das müsste doch gehen, nichtwahr?
Du kannst ungerade Zahlen als '5' bezeichnen und gerade als '6'; danach wie gewohnt weiterwürfeln.
ich meine, dass man ein gewöhnliches baumdiagramm zeichnet/sich vorstellt. mit gerade und ungerade würden ja auch die anderen zahlen ausser 5 und 6 mit hinzugefügt werden. ausser man nimt den 555666-würfel, aber ich meine , dass man mit einem normalen würfel, also 1-6 beginnt.
Die erste Verzweigung ist 5 oder 6, da die Bedingung ist, daß beim ersten Wurf eine dieser beiden Zahlen erscheint. Die Möglichkeiten 1 bis 4 sind von vornherein ausgeschlossen.
Das stimmt doch nicht. Man kann doch die Wahrscheinlichkeit für die Zahlen 1-3 beim ersten wurf nicht ignorieren. Man hat 2 Bedingungen. 1. Bedingung Summe >8 und 2. Bedingung erster wurf >4. Die Wahrscheinlichkeit ist also 7/36 nicht 7/12
danke. laut studysmarter kommt nämlIich das hier raus:
Aufgabe 1: Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen größer als 8 ist, gegeben, dass die erste Zahl größer als 4 ist?
Lösung: Weil die Würfe stochastisch unabhängig sind, beeinflusst das Ergebnis des ersten Wurfs das Ergebnis des zweiten nicht. Deshalb berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen größer als 8 ist, unabhängig vom Ergebnis des ersten Wurfs. Es gibt 15 günstige Ausgänge (5 und 4, 5 und 5, 5 und 6, 6 und 3, 6 und 4, 6 und 5, 6 und 6) und 36 mögliche Ausgänge insgesamt, daher ist die Wahrscheinlichkeit 15/36 = 5/12.
Also beim 1. Wurf kommen nur die Zahlen 5 und 6 in Frage. Beides jeweils mit der Wahrscheinlichkeit von 1/2, denn es wird nach der Bedingten Wahrscheinlichkeit für diesen Fall gefragt.
Wenn es die 5 ist, brauchen wir beim 2. Wurf eine 4,5 oder 6. Das macht auch eine Wahrscheinlichkeit von 3/6 also 1/2.
Wenn es beim ersten Wurf die 5 ist, reicht eine 3 auch aus, das heißt wir haben eine Wahrscheinlichkeit von 4/6 also 2/3.
Addieren wir nur die Wahrscheinlichekeiten der beiden Zweige 1/2*3/6 + 1/2*4/6 = 1/2*7/6 = 7/12.
Beim ersten wurf zählt 5 und 6 als erfolgreich. Jeweils 1/6 wahrscheinlichkeit. Für die 5 zählen 4, 5 und 6 beim 2.wurf als als erfolgreich, also Wahrscheinlichkeit 3/6 = 1/2. Bei der 6 zählen 3,4,5 und 6 als erfolgreich also Wahrscheinlichkeit 4/6 = 2/3
P(Summe>8 und erster wurf>4)
= 1/6 * 1/2 + 1/6 * 2/3 = 7/36
ach nein, 7/36 scheint falsch zu sein, 7/12 sollte korrekt sein.
Möglichkeiten Wurf 1
Größer wie 4 ist 5 und 6 also 2/6,
bei
Möglichkeiten Wurf 2
5 + mind. 4
6+ mind. 3
weil 3 bei 5 acht ist musst du ab 4 nehmen
also hast du bei Wurf 2, 3/6
das Ergibt dann eine Wahrscheinlichkeit von
2/6 x 3/6 = 6/36 = 1/6
Lieber Cedric, bitte keine Matheaufgaben mehr machen, da du aktuell genauso wenig blickst wie ich. Das gilt nicht nur mir, sondern dem Wohl der anderen.
genau das hatte ich auch raus, bei studysmarter kommt jedoch das hier raus:
Aufgabe 1: Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen größer als 8 ist, gegeben, dass die erste Zahl größer als 4 ist?
Lösung: Weil die Würfe stochastisch unabhängig sind, beeinflusst das Ergebnis des ersten Wurfs das Ergebnis des zweiten nicht. Deshalb berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen größer als 8 ist, unabhängig vom Ergebnis des ersten Wurfs. Es gibt 15 günstige Ausgänge (5 und 4, 5 und 5, 5 und 6, 6 und 3, 6 und 4, 6 und 5, 6 und 6) und 36 mögliche Ausgänge insgesamt, daher ist die Wahrscheinlichkeit 15/36 = 5/12.
Da ist auch was deutlich schief gegangen. Es gibt 7 erfolgreiche Ausgänge. So wie sie auch aufgezählt wurden... Also 7/36
Nein ist es nicht. Wenn 2 Würfel nacheinander geworfen werden (offensichtlich spielt die Reihenfolge eine Rolle) gibt es genau 36 mögliche Kombinationen. Und genau 7 davon erfüllen die beiden genannten Bedingungen. Nämlich die 7 die da aufgezählt sind.... Man kann nicht einfach die unerfolgreichen Würfe des ersten Würfels ignorieren.
gibt es nicht nur 2 (5 und 6) bei ersten - und 6 (1,2,3,4,5,6) beim zweiten? also 2 x 6 =12 Möglichkeiten?
3 Antworter haben nun 7/12 errechnet,mit teils unetrschiedlichen Wegen. Ich bin nun komplett irritiert
da bei ersten wurf >4 gegeben ist, gilt nun nicht mehr der bedingungsraum von 36, sonder von 12? kann das sein.
Kann man so sehen, ist aber ne semantische Interpretation der Aufgabenstellung. Man ignoriert dann halt die Möglichkeit, dass beim ersten wurf auch eine 1, 2 oder 3 gewürfelt werden kann. Mathematisch sinnvoll ist das nicht.
mir wurde eben erklärt, dass es eine bedingte wahrscheinlichlkeit ist.
die zahlen 5 und 6 sind quasi gegeben - hier gibt es also kein würfelkonzept mit 6 seiten mehr, sondern hier werden 2 zahlen als "grundmittel"gegeben.
Es gibt 15 günstige Ausgänge (5 und 4, 5 und 5, 5 und 6, 6 und 3, 6 und 4, 6 und 5, 6 und 6)
Das klingt wie eine KI, die nicht zählen kann. Es werden hier ja 7 Ausgänge und nicht 15 gelistet.
Unter der Voraussetzung, dass der erste Würfel eine Zahl höher als 4 zeigt, gibt es 2*6=12 mögliche Elementarereignisse. Davon sind 3+4=7 günstig (die Zahlenkombinationen (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)), d.h., die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich 7/12.
Andere Möglichkeit: mit den Ereignissen
A: Summe ist grösser als 8
B: Erste Zahl ist grösser als 4
gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit
ich verstehe die 1/2 nicht.
beim ersten wurf gibt es doch jeweils mit 5 und 6 die wsk von 1/6?
ich komme auf das ergebnis:
1/6*1/2 + 1/6*2/3 = 7/36 ?