Ebenen Punkt?
Die Punkte A (1|1|-2), B (3|0|0), C (-2|3|-3) und D (0|3|3) liegen in der Ebene E: 3x + 4y - z =9. Bestimmen Sie unter den Punkten A, B, C und D denjenigen Punkt, der vom Punkt P (1|7|-4) die kleinste Entfernung hat
-> Hier habe ich den Punkt C mit Wurzel 26
nur bei b) komme ich nicht weiter:
b) Gibt es einen Punkt auf E, dessen Abstand von P noch kleiner ist?
-> Wie findet man das heraus?
2 Antworten
a) Da komme ich zum gleichen Ergebnis.
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b)
Genau derjenige Punkt Q in der Ebene E hat den kleinsten Abstand zum Punkt P, bei dem die Strecke [PQ] orthogonal/normal/senkrecht zur Ebene E verläuft.
Dementsprechend würde ich eine Gleichung der Geraden g aufstellen, die orthogonal/normal/senkrecht zur Ebene E durch den Punkt P verläuft. Bestimme dann den Schnittpunkt dieser Geraden g mit der Ebene E.
Lösungsvorschlag zum Vergleich:
b) Gibt es einen Punkt auf E, dessen Abstand von P noch kleiner ist?
-> Wie findet man das heraus?
Du brauchst den Lotfußpunkt f zu P auf der Ebene. Das geht mit einem normierten Normalenvektor n der Ebene, indem du P in die Projektionsformel auf eine Ebene einsetzt, nämlich
k n + x – (n • x) n = f
mit x als Ortvektor zu P und k = n • A.
Die Formel kannst du dir leicht herleiten, wenn du so denkst:
Die Länge der Projektion von x auf n ist n • x. Nun gehst du von x so lange in Richtung n, bis du auf der Ebene bist. Dieses Stück ist die Länge der gesamten Projektion von x auf n abzuüglich der Länge der Projektion vom Lotfußpunkt von n, also k. Damit erhälst du die obige Formel.