Ebenen. Parametergleichungen. Hilfee?
hallo zsm, kann mir bitte jemand bei der Aufgabe 7 helfen? Ich habe es zum Teil gelöst bin mir aber sehr unsicher.
7c) E: x= (0|0|2) + r * (1|1|1) + s * (-1|-1|1)
7d) E: x= r * (0,5|0,5|0,5) + s * (-0,5|-0,5|0,5)
Mich interessiert die Aufgabe 7d am meisten, da gefragt nach Spannvektoren gefragt ist, welche nicht das vielfache von E sein soll. Bedeutet es, dass die Zahlen einfach kleiner sein sollen statt größer? Ich würde um eine ausführlichere Erklärung sehr dankbar sein.
7a fand ich zu schwer, ich habe gar keine Ahnung wie die Lage ist, bzw was man hier genau tun soll.
3 Antworten
Vektorielle Parametergleichung der Ebene
E: x=a+r*u+s*v
x=(0/0/0)+r*(1/1/1)+s*(-1/-1/1)
wegen a(0/0/0) geht die Ebene durch den Ursprung
Umwandlung in die Normalengleichung der Ebene
E: (x-a)*n=0
Normalenvektor n(nx/ny/nz) über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
a kreuz b=c
(1/1/1) kreuz (-1/-11)= mit meinem Graphikrechner
n(2/-2/0)
Koordinatengleichung der Ebene
E: a*x+b*y+c*z+d=0
ergibt sich durch ausmutliplizieren der Normalengleichung
((x/y/z)-(0/0/0))*(2/-2/0)=0
Skalarprodunkt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=..
(2*x-2*y+0*z)- (0*2+0*(-2)+0*0)=0
2*x-2*y+0*z=0
also d=0 und c=0
bedeutet: siehe Mathe-Formelbuch,Kapitel,Ebenen
E: a*x+b*y+c*z+d=0
d=0
c=0
d=c=0 Ebene geht durch die z-Achse
Tipp:Kannst deinen Schreibtisch als x-y-Koordinatensystem nehmen
x-Achse=linke Kante
y-Achse=Vorderkante
z-Achse=ist ein Bleistift,den du senkrecht auf die Ecke stellst
a(0/0/0)=Ecke des Tisches
u(1/1/1)
v(-1/-1/1)
Kannst du mit einen Stück Pappdeckel darstellen (Stück aus einer Milchtüte)
c) einen Punkt ermitteln,der auf der Ebene liegt 2*x-2*y=0 und nicht der Ursprung ist.
Da gibt es unendlich viele Punkte,die auf der Ebene liegen P/0/0/0) ist nur einer davon.
d) weiß ich nicht.Vielleicht soll man ja die Ebenengleichung umwandeln.
Hinweis: u(1/1/1) und v(-1/-1/1)
Normalenvektor mit dem Skalarprodukt ermitteln
1) ux*nx+uy*ny+uz*nz=0
2) vx*nx+vy*ny+vz*nz=0
Wir setzen nz=1 ergibt dann 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten,nx und ny
1) 1*nx+1*ny=-1*1=-1
2) -1*nx-1*ny=1*1=1
Der Normalenvektor steht senkrecht auf den Vektoren (1/1/1) und (-1/-1/1)
Überlege dir mal kurz eines:
Deine hier gegebene Ebene hat als Stützvektor den Nullvektor.
Alle Vektoren (nicht Punkte) die in der Ebene liegen, sind Linearkombinationen der Spannvektoren.
Grundsätzlich kommst du vom Ursprung zu jedem Punkt P in der Ebene indem du entlang des Stützvektors gehst und von dessen Ende entlang einer bestimmten Linearkombination der Spannvektoren gehst.
bei a) Suchst du eine Ebene, die parallel zu E ist.
Wenn eine Ebene A parallel zu E ist heißt das dass an jedem Ebenenpunkt der gleiche (senkrechte) Abstand zwischen den Ebenen besteht.
Dies erreichst du bspw. indem du zu E einen dazu senkrecht stehenden Vektor addierst.
Real betrachtet kannst du aber auch so ziemlich jeden Stützvektor (eben ausser dem Nullvektor) wählen und du kriegst eine Ebene parallel zu E
bspw. A=E+(1, Pi, 5)
Edit: habe es etwas falsch ausgedrückt.
der Stützvektor für die zu E parallele Ebene darf nicht in E liegen, also darf keine linearkombination von (1,1,1) und (1,1,-1) sein. Glücklicherweise ist mein oben genannter Vektor nicht in der Ebene E liegend und kann daher als Stützvektor einer zu E parallelen Ebene dienen.
b) zum verständnis: stützvektor heißt nur: Ortsvektor eines Punktes innerhalb der Ebene.
du kannst auch den Ortsvektor OQ irgendeines Punktes Q in der Ebene nehmen, ändert ein gar nichts.
Ein Punkt in der Ebene ist bspw. 2*(1,1,1)+1*(-1,-1,1)=(1,1,3).
Demnach ist ebenso
(1,1,3)+r*(1,1,1)+s*(-1,-1,1) eine Gleichung der Ebene.
c) zu den Spannvektoren:
sind einfach nur 2 nicht linear abhängige (eben nicht vielfache voneinander) vektoren in der ebene. (oder anders gesagt verbindungsvektoren zwischen 2 ebenenpunkten)
Jede Linearkombination der Spannvektoren ist ein Vektor, der ebenso in der Ebene liegt (mathemaisch zwar nicht korrekt ausgedrückt aber im prinzip ist es so).
das heißt du kannst dir einen beliebigen vektor über die linearkombination von (1,1,1) und (-1,-1,1) wählen.
Da ich gerade faul bin, nehme ich mir den Velktor (1,1,3) den ich in b) berehcnet habe.
Der liegt ja in E und kann daher als Spannvektor dienen.
Nun brauchst du noch einen zweiten Vektor, der in der Ebene liegt und nicht ein Vielfaches von (1,1,3) ist.
bspw. findest du da
2*(1,1,1)-3*(-1,-1,1)=(5,5,-1).
Wie du direkt siehst , ist der kein Vielfaches von (1,1,3).
Damit hast du 2 Spannvektoren sodass du E schreiben kannst als
r*(1,1,3)+s*(5,5,-1)
bei a) müsstest du für eine 2. parallele ebene einen anderen Stützvektor suchen.
kannst aber auch einfach bspw. das Doppelte von (1, Pi,5) nehmen ;-)
Deine Interpretiation von "vielfachem" ist falsch. Auch das 1/2-fache ist ein Vielfaches.
Der Mathematiker unterscheidet dabi nicht zwischen "mehr" oder "weniger".
Die Aufgabenstellung bedeutet, dass Du zwei ganz ander verktoren finden sollst, sie sich nicht als k*(1,1,1= und nicht als k*(-1,-1,-1) schreiben lassen.
Was heißt "nicht einfach verändern darf"? Du kannst zwei ganz beliebige Vektoren nehmen, die in der Ebene liegen. Zwei Vektoren einer Ebene spannen diese immer vollständig auf. Diese Vektoren zu errechnen ist immer etwas schwierig, aber in deinem Fall ganz einfach, da deine Ebene durch den Nullpunkt geht.
Du nimmst (in diesem Fall) einfach zwei Punkte, die in der Ebene liegen. Ihre Ortsvektoren sind zwei geeignete Richtungsvektoren - natürlich nur wenn sie nicht parallel sind.
Wenn du eine Ebene hast, die nicht durch den Ursprung geht ist es etwas kniffliger. Das sage ich ganz ausdrücklich, damit Du nicht falsche Schlüsse ziehst.
zu a) Du sollst das in Worten schreiben, was Du über die Ebene aus der Definition ablesen kannst. Als erstes fällt mir auf , dass sie durch den Ursprung geht, da der Stützvektor (0,0,0,) ist. Dann ist ein Richtungsvektor (1,1,1) also die Raumdiagonale im 1."RaumQuadranten". (Das ist nicht der richtige Begriff, ich meine den in der Skizze im Bild von x1, x2,x3 aufgespannten Würfel auf den man direkt drauf schaut.)
Der zweite Richtungsvektore ist die Raumdiagonale im "RaumQuadranten" gegenüber aber oberhalb der Grundebene. Damit liegt die durch beide aufgespannte Ebene E als Diagonalebene zwischen diesen Raumquadranten und die x2-Achse liegt völlig in der Ebene E.
Du hast recht, dass ist recht schwer, da wir uns immer sehr schwer tun uns etwas 3-dimensionales auf dem Blatt realistisch vorzusellen.
Wenn du jetzt neben mir sitzen würdest, könnte ich das Ganze sehr leich mit einer Skizze auf einem Blatt erklären. Aber so über Texte bleibt das recht umständlich. Vor allem, da ich nicht merke, ob du meine Worte so auffaßt wie ich es gemeint habe.
zu c) richtig! Du hast die am einfachst zu findente Lösung gewählt
zu d) wie mein langer Text oben schon ausführt: falsch, denn es sind genau die beiden gegebenen Richtungsvektoren nur eben etwas gekürzt. Aber sie sind es trotzdem.
Also es muss genau die gleiche Ebene sein, nur mit anderen Richtungsvektoren? Ich habe gedacht, dass man die RIchtungsvektoren nicht so einfach verändern darf