Wie skizziert man diese Teilmenge: T= {z E C : |z+i|=|z+2|}?
(E steht für Element aus ).
Rein theoretisch Bedeutet das ja, das eine Teilmenge gesucht ist bei der in komplexer Zahlenebene, die Punkte jeweils den gleichen Abstand zu z=-i und z=-2 haben. Jedoch komm ich rechnerisch auf kein plausibles ergebniss. Ansatz war jeweils beide seiten zu quadrieren, jedoch mach die Rechnung am Ende kein Sinn da:
(i-2) • (2 Re(z) ) = 5
rauskommt was in meinen Augen keinen Sinn macht.
hoffe jemand kann mir das erklären falls ich mit meiner annahme falsch liege und evtl eine Rechnung dazu liefern.
2 Antworten
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z = x + i*y
|z+i| = |z+2|
|z+i|^2 = |z+2|^2
x^2 + (y+1)^2 = (x + 2)^2 + y^2
2y + 1 = 4x + 4
y = 2x + 3/2
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Jetzt weiss ich auch endlich wo mein Denkfehler war, danke dir !!!
![](https://images.gutefrage.net/media/user/eterneladam/1673990853932_nmmslarge__0_0_3023_3024_b3ab443b0f60481e81ea92643ef07370.jpg?v=1673990854000)
Eine Skizze in der komplexen Ebene ist hilfreich, das gibt eine Gerade, die senkrecht auf der Verbindungsstrecke von -2 und -i steht, und zwar genau in deren Mittelpunkt. Mit a = Realteil und b = Imaginärteil erfüllt die Gerade die Gleichung 2a + 3/2.
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Ok, und nur noch eine Verständnisfrage:
|z| der Betrag von Z ist ja theoretisch der Abstand zum Ursprung.
wenn ich nun z.B
|z+i|= habe:
ist es dann der Abstand z=i vom Ursprung oder z=-i
oder ist damit eher ein Kreis um den Ursprung gemeint, mit dem Durchmesser i?
da hackt es noch bei mit mit dem Verständnis.
Vielen Dank schonmal im Vorraus
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Und mit dem Ansatz komm ich bis:
a^2 +2abi+2ai+(bi)^2+2bi^2+i^2=a^2+4a+4 +2abi +4bi + (bi)^2
umgeformt:
2ai - 4a - 4bi -2b = 5
wie ich weitermachen soll leuchtet mir aber nicht ein…
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Der Ansatz war nicht präzise formuliert, es muss heissen
| a + i(b+1) |^2 = | (a+2) + ib |^2, das bedeutet
( a + i(b+1) ) ( a - i(b+1) )= ( (a+2) + ib ) ( (a+2) - ib ) und
a^2 + b^2 + 2 b + 1 = a^2 + 4 a + b^2 + 4 und
b = 2 a + 3/2
Und: |z+i| = 1 ist ein Kreis um den Punkt -i mit Radius 1.
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Vielen Dank, mein Fehler war, dass ich nach dem man den Betrag quadriert in der beim zweiten Faktor vergessen habe das es eine Subtraktion sein muss in der Klammer !
Darauf bin ich über skizze auch gekommen, aber ich frage mich trz wie man das rechnerisch zeigen kann.