Brauche Hilfe bei einer Parametergleichung

Gegeben ist die Ebene E mit der Paramatergleichung

E: VektorX= r(1/1/1) + s(-1/-1/1)

Aufgabe:

Geben Sie eine Gleichung der Ebene E an, bei der die Spannvektoren nicht ein Vielfaches eines der Vektoren (1/1/1) bzw. (-1/-1/1) sind.

Bitte um eine Nachvollziehbare Lösung oder hilfreiche Tipps :)

Answer 1

[greenphone]

Wenn du 2 Vektoren die in einer Ebene liegen addierst erhälst du wieder einen Vektor der in der selben Ebene liegt.

Also kannst du hier ganz einfach folgendes machen, du wählst dir 2 beliebige parameter r, s ungleich null, multiplizierst diese mit den Spannvektoren und addierst die beiden Ergebnisse. Das Ergebnis dieser Addition ist dann wieder ein Vektor der in der selben Ebene liegt wie die beiden Spannvektoren, somit ist der neue Vektor ebenfalls als Spannvektor geeignet.
Machst du das gleiche jetzt noch mal mit anderen Parameterwerten für r und s so erhälst du einen weiteren Vektor den du als 2. Spannvektor verwenden kannst.

Die von dir auf diese Weise konstruierten Vektoren sind dann selbstverständlich kein Vielfaches eines der Vektoren (1/1/1), (-1/-1/1), da wir ja r und s ungleich Null gewählt haben.

Answer 2

[psychironiker]

Seien U, V die gegebenen Spannvektoren und a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 beliebige Skalare, wobei

a / b ≠ c / d.

Dann sind

aU +bV, cU + dV

alternative Spannvektoren.

Warum wohl?

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Einfaches Beispiel: (0 | 0 | 1), . (1 | 1| 0) (warum?)

Answer 3

[ultrarunner]

Da die Ebene durch den Ursprung verläuft, ist das hier extrem simpel. Du brauchst dir nur 2 beliebige Punkte (außer den zu beiden gegebenen Vektoren gehörenden) zu suchen, die auf der Ebene liegen, und nimmst deren Ortsvektoren als Spannvektoren.

Z.B.:

• r=1, s=1 ergeben den Punkt (0|0|2), den Ortsvektor kannst du "kürzen" auf (0, 0, 1)
• r=-1, s=1 ergeben (-2|-2|0), kürzen auf (1, 1, 0)

Somit: E: X = r·(0, 0, 1) + s·(1, 1, 0)