e Funkion berechnung?
Hallo, ich habe eine Frage zur Folgenden Aufgabe:
Die im Jahr 2002 ausgebrochene Staupe-Epidemie hat nach Aussagen der Experten den Bestand der Seehunde nahezu halbiert. Erst dann konnte wieder ein langsamer Anstieg der Seehund-Population verzeichnet werden. Prüfen sie diese aussage rechnerisch.
Funktion: f(x) = 5e^-5x - 6e^-0,5x + 10
Mein Ansatz wäre die erste Ableitung zu bilden, ist dies richtig?
Danke
2 Antworten
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f(x) = 5 * e ^ (- 5 * x) - 6 * e ^ (- 0.5 * x) + 10
Anzahl der Seehunde zum Zeitpunkt x = 0 :
f(0) = 5 * e ^ (- 5 * 0) - 6 * e ^ (- 0.5 * 0) + 10 = 9 Mengeneinheiten
Anzahl der Seehunde im Tiefpunkt der Pandemie :
1-te Ableitung bilden :
f´(x) = - 5 * 5 * e ^ (- 5 * x) - 6 * - 0.5 * e ^ (- 0.5 * x)
f´(x) = - 25 * e ^ (- 5 * x) + 3 * e ^ (- 0.5 * x)
Nullstelle der 1-ten Ableitung ermitteln :
- 25 * e ^ (- 5 * x) + 3 * e ^ (- 0.5 * x) = 0
Substitution :
u := e ^ (- 0.5 * x) --> x = - 2 * ln(u)
- 25 * u ^ 10 + 3 * u = 0
u * (- 25 * u ^ 9 + 3) = 0
u_1 = 0 --> Kann verworfen werden, weil - 2 * ln(0) nicht definiert ist.
- 25 * u ^ 9 + 3 = 0
u ^ 9 = 3 / 25 | ... ^ (1 / 9)
u_2 = (3 / 25) ^ (1 / 9)
Rücksubstitution :
x = - 2 * ln((3 / 25) ^ (1 / 9))
x = 0.4711696747111314 Zeiteinheiten
Anzahl der Seehunde zum Zeitpunkt x = 0.4711696747111314 :
f(0.4711696747111314) = 5 * e ^ (- 5 * 0.4711696747111314) - 6 * e ^ (- 0.5 * 0.4711696747111314) + 10 = 5.733413401031329 Mengeneinheiten
(5.733413401031329 / 9) * 100 ≈ 63,7 %
Also sind zirka 100 % - 63.7 % = 36,3 % der Seehund gestorben, und 63,7 % waren nach dem Tiefpunkt der Epidemie noch übrig.
Also, die Aussage mit dem nahezu halbiert ist schon ziemlich ungenau.
Überprüfen, wann die Seehundpopulation nach der Epidemie wieder 9 Mengeneinheiten erreicht hat :
5 * e ^ (- 5 * x) - 6 * e ^ (- 0.5 * x) + 10 = 9
Lösungen sind :
x_1 = 0 --> Das liegt vor der Epidemie.
x_2 = 3,58
Die Lösung x_2 findest du entweder numerisch oder mittels Geogebra :
https://www.geogebra.org/classic?lang=de
3,58 - 0,47 = 3,11 Zeiteinheiten hat es gedauert, bis die Seehundpopulation sich wieder erholt hat, das kann man als langsam bezeichnen, wenn man will.
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Ist das diese Funktion? (Steht in der Grafik)
Ableitung habe ich das raus:
Ja, wäre ein guter Ansatz, denn du willst den Tiefpunkt herausfinden. Es interessiert dich der y-Wert des Tiefpunktes.
Weiterhin interessiert dich der Seehundbestand der Funktion in t = 0 .
