Bild einer Matrix?
Ich wollte nur mal wissen ob ich es jetzt richtig verstanden habe. Die Spalten (also die Vektoren) einer Matrix, sind ein Bild von unendlich vielen Bilder der Matrix? Aber zur Lösung bzw. man schreibt als Lösung nur die Spalten auf die Linear unabhängig sind? Also kein Vielfaches voneinander sind? Mit dem Gaus-Algorithmus kann ich auch gleich herausfinden welche der Spalten linear unabhängig sind auch wenn ich nicht gleich erkenne welche Spalten vielfache voneinander sind (also die Spalten die einen Einheitsvektor ergeben sind linear unabhängig)?
Dazu habe ich ein Bild mit einer einfachen Matrix hinzufügt.
1 Antwort
Die Spalten (also die Vektoren) einer Matrix, sind ein Bild von unendlich vielen Bilder der Matrix?
Versteh ich nicht.
Im Grunde ist deine Matrix (nennen wir sie A) eine Abbildung (nennen wir sie T). Nämlich T(v) = A*v
Wenn wir uns hier im IR^3 befinden, also T: IR^3 -> IR^3, dann ist Im(T) = L { Spalten von A }
Es ist nicht mal unbedingt notwendig, die lin. unabhängigen Spalten zu bestimmen, denn die Lineare Hülle (Span) bleibt ja derselbe.
Kann sein, dass der Prof das aber verlangt.
Ich hab versucht, dir das Konzept vom Bild einer Matrix mithilfe einer Funktion zu beschreiben (von der du sicher eine Idee hast, was das Bild einer Funktion ist)
Angenommen deine Matrix A = (a_1, a_2; a_3, a_4) und dein Vektor ist v = (v_1, v_2)^T
Dann ist A*v = (a_1*v_1 + a_2*v_2, a_3*v_1 + a_4*v_2)^T = (a_1, a_3)^T * v_1 + (a_2, a_4)^T * v_2
Und was ist das? Eine Linearkombination aus den Vektoren (a_1,a_3) und (a_2, a_4), also den Spalten der Matrix A. Die Einträge vom Vektor v agieren hier als Skalar. (Darum hab ich gemeint, dass v auch aus IR^3 sein muss).
Und wenn ich v jetzt beliebig wählen darf, also v_1, v_2 aus IR beliebig, dann ist das Bild (das wohlgemerkt ja alle Abbildungen von v erfasst) ja...
im(A*v) = L{ (a_1,a_3), (a_2,a_4) }.
So hängt das miteinander zusammen.
Danke für die Antwort.
„Im Grunde ist deine Matrix (nennen wir sie A) eine Abbildung (nennen wir sie T). Nämlich T(v) = A*v“
ich verstehe das noch nicht so ganz. Also A ist eine Abbildung von T? Was genau ist aber dan T der ganze dreidimensionale Raum IR^3 oder irgend eine Funktion?(kann man sich das irgendwie Bildlich vorstellen).