Dimension einer Matrix/ eines Vektors?
Stimmt die Aussage, dass eine NxN Matrix mit N∈ℝ immer die Dimension N^2 besitzt und ein N-wertiger Vektor mit N∈ℝ die Dimension N besitzt?
Ich kann mir das bei einer Matrix schwer vorstellen. Hat jemand evtl. ein Gedankenbeispiel?
So sieht die Aufgabe aus.
1 Antwort
Ich kann mir das bei einer Matrix schwer vorstellen. Hat jemand evtl. ein Gedankenbeispiel?
Erinnere dich, wie man bei Vektoren die Dimension bestimmt. Die Dimension ist die Anzahl der Elemente einer Basis. Die Elemente einer Basis zeichnen sich dadurch aus, dass sie linear unabhängig sind.
Bei dem R^N gibt es immer genau N linear unabhängige Vektoren. Betrachten wir die wohl einfachste Basis, die kanonische. Sie besteht gerade aus den Einheitsvektoren (alle Komponenten null außer einer, der eins ist). Es gibt gerade N von diesen, da es N Komponenten im R^N gibt. Die Gleichung
a_1 b_1 + ... + a_N b_N = 0
ist nur wahr, wenn alle a_i = 0 sind (die b_i stellen die Einheitsvektoren dar, die a_i Skalare) - also sind sie linear unabhängig.
Schauen wir uns das selbe mal bei den Matrizen an. Hier können wir analog Matrizen M_ij aus dem R^N×N definieren, die in jeder Komponente null sind außer bei (i, j), dort soll eine Eins stehen. Stellen wir wieder die Gleichung
a_11 M_11 + ... + a_NN M_NN = 0
auf, sehen wir, dass auch diese nur lösbar ist, wenn alle a_ij = 0 sind. Also sind die Matrizen M_ij linear unabhängig. Insbesondere stellen sie darmit eine Basis des R^N×N dar. Da es von diesen genau N² Matrizen gibt, ist die Basis N².