Differenziebarkeit bei der Betragsfunktion |x^2-9| an der Stelle 3/-3?
ich habe herausgefunden, dass die Funktion |x^2-9| an diesen Stellen nicht differenzierbar ist, jedoch nur mithilfe von einer Zeichnung. Ich verstehe nicht, wie ich bestimmen soll, wann es ein rechtsseitiger oder linksseitiger Limes ist, ohne die Abbildung. Es ist ja x^2-9 und -x^2+9 aber wie soll ich berechnen, dass z.B. x^2-9 an der Stelle -3 von links kommt?
2 Antworten
Man definiert die gesamte Funktion abschnittsweise.
Nullstellen und Vorzeichen in den Bereichen sind ja leicht zu ermitteln / bekannt.
Z. B.
/ x^2 - 9 ; x < -3
/
f(x) = { 9 - x^2 ; -3 <= x <= 3
\
\ x^2 - 9 ; x > 3
Bei x0=-3 ist die Funktion links von dieser Stelle x^2-9, rechts von dieser Stelle 9-x^2. Für linksseitige Grenzwerte an dieser Stelle betrachtest du also die Funktion x^2-9, für rechtsseitige 9-x^2. (Für's Protokoll: Genau genommen ist die Funktion die Abbildungsvorschrift "x wird abgebildet auf diesen Term".)
Die abgebildete Funktion hat den Funktionsterm|-x²+9|!
Du musst den Betrag auflösen und erhältst so drei Teilfunktionen, an deren Definitionsbereich Du siehst, welche an den Übergängen von links bzw. rechts kommt. Wobei das "eigentlich" egal ist: Du berechnest die Steigungen der jeweiligen Teilfunktionen an den Übergängen, stellst fest, dass sie nicht gleich sind und somit die Betragsfunktion dort nicht differenzierbar ist.
ich habe die Funktion leider falsch abgeschickt, es soll eigentlich |x^2-9| sein, aber es ist letztendlich egal
Vielen Dank, aber wir genau erhalte ich 3 Teilfunktionen? ich erhalte nur 2…
Muss Minus sein, sonst wäre es einfach nur x²+9 (ist ja eh immer positiv), also eine nach oben offene Parabel!
f(x)=-x²+9 und -x²+9≥0 <=> x²≤9 <=> -3≤x≤3
f(x)=-(-x²+9)=x²-9 und -x²+9<0 <=> x²>9 <=> x>3 oder x<-3
=> f1(x)=x²-9 und x<-3
f2(x)=-x²+9 und -3≤x≤3
f3(x)=x²-9 und x>3
also eigentlich x^2-9, Ich habe die Aufgabe falsch abgeschrieben, und -x^2 +9 ist dann wenn x negativ ist..
Dankeschön!! das war genau mein Problem, da ich nicht wusste, wie man eine Funktion abschnittsweise definiert