Differnezierbarkeit von Betragsfunktionen
Ist die Funktion f(x)= | x^3| differenzierbar? Ich habe die differenszierbarkeit an der Stelle 0 untersucht und habe raus, das sie nicht differenzierbatr ist. Wenn ich diese Funktion aber in meinen Taschenrechner eingebe, ist es eine Parabel und Parabeln sind doch differenzierbar. Wie kann das dann sein ?
6 Antworten
Eine Funktion f ist genau dann differenzierbar an einer Stelle x0 ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert
lim [x->x0] ( f ( x ) - f ( x 0 ) / ( x - x0 )
existiert. Das ist genau dann der Fall, wenn an dieser Stelle sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert existiert und beide gleich sind.
Für die Funktion
f ( x ) = | x |
gilt an der Stelle x0 = 0 (diese Stelle gehört zum Definitionsbereich von f):
linksseitiger Grenzwert = - 1
rechtsseitiger Grenzwert = 1
Da beide ungleich sind, ist f ( x ) = | x | an der Stelle x0 = 0 nicht differenzierbar.
.
Für die Funktion
f ( x ) = | x ³ |
gilt hingegen an der Stelle x0 = 0 ( auch hier gehört diese Stelle zum Definitionsbereich von f):
linksseitiger Grenzwert = 0
rechtsseitiger Grenzwert = 0
Da beide Grenzwerte gleich sind, ist f ( x ) = | x ³ | an der Stelle x0 = 0 differenzierbar.
Definition:
| x |
= x, falls x >= 0
= - x , falls x < 0
(Anmerkung: Im Folgenden bedeutet: [h-> 0+ ] dass h "von oben", also von den positiven Zahlen her, gegen Null geht, sodass h also niemals negativ ist.)
Daher:
Rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle (x0 = 0)
= lim [h->0+] ( | ( x0 + h ) ³ | - | x0 ³ | ) / h
[wegen x0 = 0 gilt (siehe Definition)
| x0 ³ | = x0 ³ = 0
und auch
| ( x0 + h ) ³ | = ( x0 + h ) ³ = ( 0 + h ) ³ = h ³ ]
= lim [h->0+] ( h ³ - 0 ) / h
= lim [h->0+] ( h ² )
= 0
Es gilt: f '(x) = 3x^2 für x > 0 und f '(x) = -3x^2 für x < 0, also sind links- und rechtsseitiger Grenzwert von f '(x) bei x = 0 gleich, also ist die Ableitung f '(x) bei x = 0 stetig, also ist die Funktion f(x) bei x = 0 differenzierbar.
Danke für die Anmerkung.
Ich schließe von der Stetigkeit der Ableitung auf die Differenzierbarkeit, also von der stetigen Differenzierbarkeit auf die Differenzierbarkeit – ein korrekter Schluss. Dass umgekehrt nicht aus Differenzierbarkeit stetige Differenzierbarkeit folgt (das Standard-Beispiel ist bei Wikipedia angegeben: http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit%23Stetige_Differenzierbarkeit_und_h.C3.B6here_Ableitungen), ist für mein Argument unerheblich.
Du hast allerdings Recht, dass ich die Stetigkeit von f '(x) nicht korrekt bewiesen habe und für meinen Beweis auch nicht benötige:.Aus der Existenz und der Gleichheit der links- und rechtsseitigen Ableitungen f '(x) bei x = 0 die Differenzierbarkeit von f(x) bei x = 0.
du weißt eben NUR, dass linksseitiger und rechtsseitiger limes der teil-ableitungen übereinstimmt, und das WÄRE der fall, falls die ableitung stetig ist. (aber du hast es nicht zeigenkönnen)
du versuchst aus stetig-differenzierbar das normale differenzierbar zu folgern. das ist ein zirkelschluss, der unerlaubt ist, denn wenn sie stetig differenzierbar ist, so ist sie automatisch auch differenzierbar, du kannst also stetig-differenzierbar nicht verwenden um differenzierbarkeit zu beweisen.
deshalb hast du in der tat NUR stetigkeit der ableitung und nicht stetige differenzierbarkeit der ursprünglichen funktion nachweisen können und das auch nur unter der annahme, dass x=0 bereits differenzierbar gewesen wäre( wieder zirkelschluss), sonst wüsstest du ja nicht, ob linksseitiger und rechtsseitiger limes ausreicht um stetigkeit nachzuweisen.
beispiel: x=1 für alle x!=0 und x=0 für x=0; diese funktion hat die unstetige stelle bei x=0 und das obwohl der rechts und linksseitige limes stets 1 ist ! (beachte das folgenkriterium für stetigkeit... f(lim x0 gegen x [x]) soll sein lim x0 gegen x [f(x0)] .. dies ist nur bei stetigen funktionen der fall, du kannst also nicht behaupten, dass der rechtsseitige und linksseitige limes = 0 ist, sondern der ist laut definition der funktion 1, und f(0) = 0ist eben was anderes)
was ich mit dem beispiel sagen wollte ist: du findest nur heraus, ob eine stetige fortsetzung für die ableitung existiert (und das tut sie, aber das heißt noch nicht, dass die funktion tatsächlich derartig verläuft).
du hast also weder die stetigkeit bewiesen, da du die ableitung an der stelle 0 ja nicht kennst - du kannst die stetigkeit also garnicht beweisen - , noch hast du differenzierbarkeit bewiesen durch die annahme der stetigen differenzierbarkeit, welche sowieso nicht beweisbar ist, und einen unzulässigen zirkelschluss gemacht.
puh... ich will mir dich nicht zum feind machen, aber du kannst die ableitung ja garnicht auf stetigkeit prüfen, wenn du die ableitung nicht kennst (an jeder stelle). und aus differenzierbarkeit folgt stetigkeit, aber nicht umgekehrt, und erst recht nicht folgt das umgekehrt für eine andere funktion, als diejenige, für die du stetigkeit bewiesen haben sollst.
es ist ein wenig blöd alles zu erklären, deshalb auch so viel text.
ich mach es noch einmal aus einer anderen sichtweise deutlich:
stetigkeit: für ALLE nullfolgen h gilt: lim x->x0 f(x) = f(x0) = f( lim x-> x0 (x)), es ist also zu prüfen, ob die reihenfolge der grenzübergänge (zuerst im urbild, und dann abbilden, oder zuerstabbilden, und dann grenze überschreiten) egal ist FÜR ALLE nullfolgen h.
insbesondere ist auch die konstante folge (0,0,0......) eine nullfolge. und ebenso die folge (1,1/2,1/3,1/4 ....) [eben 1/n]...
die beispielsfunktion von oben liefert, da (1/n) nie genau 0 erreicht immer den wert 1 für die bildfolge, aber das bild des grenzübergangs liefert genau f ( 0 ) = 0. oder anders betrachtet, die bildfolge der konstanten nullfolge liefert ebenfalls f ( 0 ) = 0 aber eben die bildfolge der folge (1/n) NICHT!
deshalb MUSST du um stetigkeit der ableitung zu beweisen den exakten wert der ableitung kennen ! du musst aber zuerst beweisen, dass dieser wert existiert und ihn errechnen!
nun und jetzt erlöse ich dich !
du KENNST den exakten wert der ableitung, nämlich der ist genau 0, genauso wie die grenzwerte vonlinks und von rechts, aber du hast das nie erwähnt und wahrscheinlich auch nie ausgerechnet und überhaupt nicht darüber nachgedacht.
denn die teilableitungen die du für x>0 und x<0 berechnet hast sind EBENFALLS für x >=0 und x <= 0 gültig ! du kannst also den wert der ableitungtatsächlich konkret angeben und deinen beweis damit berichtigen. tja, gott sei dankt ist die betragsfunktion nämlich stetig! (nicht differenzierbar, aber stetig). deshalb gilt das was du gerechnet hast auch glücklicherweise für die 0, aber nur dannist es richtig!
in der tat hast du den punkt x=0 nie konkret betrachtet... mit limes von links und rechts alleine kannst du damit nichts beweisen. ich hoffe das hat zum nachdenken angeregt und geholfen.
fazit: MERKE: differenzierbarkeit ist immer mit differenzenquotienten zu beweisen, es sei denn man ist sich 100% und sogar noch mehr als 100% sicher, dass es stimmt, was man tut.
Du bist im Irrtum, was logisch korrektes Schließen angeht. Aus stetiger Differenzierbarkeit auf Differenzierbarkeit zu schließen, ist korrekt; du sagst es ja selbst: "wenn sie stetig differenzierbar ist, so ist sie automatisch auch differenzierbar".
Natürlich muss man dann aber stetige Differenzierbarkeit beweisen, um eine durchgehende Beweiskette zu bekommen. Und da ich die Stetigkeit von f '(x) bei x = 0 nicht bewiesen hatte, war mein Beweis unvollständig. Ich habe den Beweis deshalb umgestellt (s. o.) und argumentiere nicht mehr mit stetiger Differenzierbarkeit. Statt dessen folgere ich aus der beidseitigen Differenzierbarkeit und der Gleichheit der links- und rechtsseitigen Ableitungen von f(x) bei x = 0 die Differenzierbarkeit von f(x) bei x = 0 (basierend auf Satz 25.2 aus http://www.uni-due.de/~hn213me/sk/rogge/Ana25.pdf).
"wenn sie stetig differenzierbar ist, so ist sie automatisch auch differenzierbar".
darauf hab ich mich auf deine argumentation bezogen, welche falsch war. natürlich folgt differenzierbar aus stetig differenzierbar.,. aber die stetige differenzierbarkeit war eine deiner behauptungen, die du erst beweisen musstest, weshalb du aber differenzierbarkeit bereits als "wahr" annehmenmusstest.
und selbst die stetigkeit hast du nicht bewiesen, weil um die stetigkeit der ableitung an stelle 0 zu beweisen, benötigst du zuerst einmal die ableitung an stelle 0 selbst, welche du aber erst berechnen musst!
und der link, den du angehöngt hast ist genau das was ICH gesagt habe.. DIFFERENZENQUOTIENT, du allerdings betrachtest die teilableitungen für x<0 und x>0. diese haben mit demn differenzenquotienten nichts zu tun, denn diese geltn nicht für x=0, aber für x=0 musst du ja gerade erst die differenzierbarkeit betrachten.
du bist also nicht fähig dnen fehler einzugestehen.. ich bin nicht dein lehrer.. ich werd nicht bezahlt.... denk einfach darüber, was ich gesagt hab nach.. wenn du nicht willst, dann lass es.
ich möchte nochmal deutlichst darauf hinweisen: im skript von dir steht es mit DIFFERENZENQUOTIENT an GENAU DER STELLE 0 und KEINE GRENZWERTE der teilableitungen. punkt.
Danke für deine Bemühungen. Fassen wir es so zusammen: Ich habe dich nicht überzeugt und du mich nicht. Lassen wir es damit gut sein.
das stimmt leider nicht!
es gibt differenzierbare funktionen, bei denen die ableitung nicht mehr stetig ist. du überprüfst aber gerade, dass die ableitung stetig und schließt daraus, dass die funktion differenzierbar war.
das ist garnicht so einfach nachzuvollziehen.... denk darüber mal nach. sowas sollte man sicherheitshalber immer mit dem differenzenquotienten machen. du hast nämlich keine garantie, dass die abgeleitete funktion stetig sein muss... was ist, wenn die abgeleitete funktion zwar für x gegen 0 von links und von rechts übereinstimmt, aber für x exakt gleich 0 völlig anders definiert ist?
lange rede kurzer sinn:
ob die ableitung nun stetig oder nicht ist, ist völlig egal... das kannst du auch garnicht rausfinden.. du kannst nur rausfinden, dass eine stetige fortsetzung deiner beiden teil-ableitungen existiert. du hast den punkt x=0 aber nie untersucht.
Die Funktion sieht aus wie eine Parabel, hat aber an der Stelle 0 eine Definitionslücke. An dieser Stelle ist sie nicht differenzierbar.
Sie hat keine Definitionslücke, |0|=0, und an der Stelle 0 ist sie differenzierbar.
und habe raus, das sie nicht differenzierbatr ist.
Wie hast Du das ermittelt?
Nach meiner Überschlagsrechnung ist sie differenzierbar, linksseitiger Grenzwert = rechtsseitiger Grenzwert = 0 an der Stelle 0.
Oder hast Du nur irgendwo gelesen "die Betragsfunktion ist nicht differenzierbar"? Was für Betrag(x) gilt, muss für Betrag(x^3) noch lange nicht gelten.
Ist die Funktion f(x)= | x^3| differenzierbar?
Ja.
Ich habe die differenszierbarkeit an der Stelle 0 untersucht und habe raus, das sie nicht differenzierbatr ist.
Was hast du denn gemacht?
meinen Taschenrechner eingebe, ist es eine Parabel
Es ist keine Parabel. Es sieht nur ähnlich aus.
Wie kommt man darauf, dass der rechtsseitige Grenzwert auch 0 ist? Ich kriege das nicht raus.