Normierter Vektor bei Winkel zwischen zwei Vektoren?
Hallo liebe Community,
zur Herleitung der Formel für Winkel zwischen zwei Vektoren gibt mein Schulbuch mir folgendes;
Dabei verstehe ich die eingekreiste Gleichheit nicht. Ich weiß dass hier ein Vektor normiert wurde aber meine Fragen sind folgende:
- Welcher Vektor wurde normiert?
- Warum gilt die eingekreiste Gleichheit?
- Wie kann man mir diese Normierung gut veranschaulichen?
Lg
1 Antwort
Einen schönen Trick zeigt das Buch hier. Noch schöner wäre es allerdings, wenn der Trick auch erklärt würde. Also:
Ganz wichtig ist, was einleitend in dem Satz steht, dass nämlich die Vektoren OB' und a parallel sind.
Es wird dann das Skalarprodukt beider Vektoren gebildet. Der Trick ist jetzt: Weil die Vektoren a und OB' parallel sind, kannst du den Vektor OB' durch den Vektor a ausdrücken. Das verlangt zwei Schritte:
- Du normierst den Vektor a, indem du durch seinen Betrag teilst
- Den erhaltenen normierten Vektor, der natürlich ebenfalls zu OB' parallel ist, multiplizierst du mit der Länge (= dem Betrag) des Vektors OB'
Der Rest sind dann nur noch clevere Umformungen.
Ergänzung: Geometrische Interpretation
Um den Vektor OB' durch den parallelen Vektor a auszudrücken, muss der Vektor a so gestreckt (oder gestaucht) werden, dass er die Länge des Vektors OB' annimmt. Hierzu wird der Vektor a zweimal skaliert:
- Zuerst durch Normierung, d.h., durch Multiplikation mit 1/|a|
- Sodann durch Multiplikation mit |OB'|
Mithin ist der Faktor |OB'|/|a| der eindeutig bestimmte Streckungsfaktor, mit dem a auf die Länge von OB' gebracht wird. In geometrischer Interpretation haben wir hier also tatsächlich nichts anderes als eine Streckung.
Ich habe dir noch eine geometrische Interpretation dazugeschrieben. Schließlich hast du ja auch nach einer Veranschaulichung gefragt.
Ist eigentlich ziemlich einfach wenn man das einmal verstanden hat…😅
Vielen Dank jedenfalls.