Die Lage und Art der extrempunkte berechnen?

Hallo,

Ich muss diese Aufgabe bearbeiten „bestimmen sie die Lage und die Art der Extrempunkte des Funktiongraphen f.“

Ich kann mich nur zum Teil dran erinnern wie man das rechnet, aber als ich im Internet nach schaute stand dort was von hinreichender Bedienung usw.

Dies haben wir auch so in der Schule jedoch haben die dort mit einer 2.Ableitung berechnet und dies haben wir nicht so gemacht was mich dann verwirrt hat.

Die Funktion lautet f(x)= 1/4x^3+1/2x^2+3x+5

Ich wäre sehr dankbar wenn jemand mir zeigen könnte wie man das rechnet damit ich die nächsten Teilaufgaben selbst lösen kann.

Answer 1

[Applwind]

Man kann auch ohne zweite Ableitung ermitteln, ob es sich um dein Extremum um ein Tief oder Hochpunkt handelt(Sattelpunkt ausgenommen).

Du berechnest erst die Stellen, mit waagrechter Tangente, also f'(x) = 0.

Dann kannst du mit der ersten Ableitung rechnen.

Hat f einen Tiefpunkt, so muss die Ableitung zwischen der Nullstelle ein VZW von - --> + haben.

Hat f einen Hochpunkt, so muss die Ableitung zwischen der Nullstelle ein VZW von +--> - haben.

Bsp:

$f\left(x\right)=x^2,\ x\in\mathbb{R}$ $f'\left(x\right)=2x$ $f'\left(x\right)\ =0$ $2x=0\Leftrightarrow x=0$ VZW :

$f'\left(-1\right)=-2<0$ $f'\left(1\right)=2>0$ => Tiefpunkt

Tiefpunk bei TP(0/0)

Woher ich das weiß: Hobby – Schüler.

Answer 2

[Kurax151]

Für Extrempunkte habt ihr sicher gelernt Ableitung = 0 zu setzen. Wenn du dir die normale x^3 Funktion anschaust, wirst du eben aber feststellen, dass bei x=0 die Funktion die Ableitung 0 besitzt, aber x=0 keine Extremstelle ist. Es genügt also nicht die Ableitung = 0 zu setzen, sondern auch noch die zweite Ableitung zu bestimmen.

Ist diese an dem jeweiligen Punkt wieder 0, so liegt kein Extrempunkt vor, ist sie ungleich 0 hast du deine Extremstelle. Dies liegt daran, dass
Dann musst du noch prüfen ob Hoch- oder Tiefpunkt.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik Studium

Comments

[Wechselfreund]

Ist diese an dem jeweiligen Punkt wieder 0, so liegt kein Extrempunkt vor, ist sie ungleich 0 hast du deine Extremstelle.

Das stimmt so nicht: Bsp. f(x) = x^4

[Kurax151]

@Wechselfreund

Ja, bei x^3 Funktionen aber hast recht

[Wechselfreund]

@Kurax151

Das ist in Mathe aber eben ungünstig: mal richtig, mal falsch.

Mit dem Vorzeichenwechselkriterium ist die Entscheidung eindeutig.

[Kurax151]

@Wechselfreund

Ja hast Recht. Habe nur an das Beispiel hier gedacht

Answer 3

[Wechselfreund]

Bei ganzrationalen Funktionen ist das Vorzeichenwechselkriterium aussagekräftiger. Warum solltest du das nicht benutzen können?