Diagonalen e, f ausrechnen (rhombus)
Ich sitze schon fast eine halbe Stunde an dem beispiel hab auch schon in google rumgeforscht aber nichts brauchbares gefunden. Und zwar geht es um ein beispiel wo die seite a und die höhe gegeben ist, und man muss die diagonalen ausrechnen und ich hab keinen dunst wie das geht.
2 Antworten
Gebraucht habe ich: Definition des Sinus, Konsinussatz, zwei Formel für den Flächeninhalt der Raute (die immer auch ein Parallelogramm ist) und den trigonometrischen Pythagoras zur Umwandlung von Sinus in Cosinus. Der Rest sind Umformungen. Nichts Besonderes also.
Bezeichnungen wie in
http://de.wikipedia.org/wiki/Raute
Unterpunkt "Geometrie", zusätzlich
- e = AC, f = BD;
- h die Höhe auf Seite a mit Höhenfußpunkt Ha.
Wegen DA = AB = a ist und der Definitions des Sinus im rechtwinkligen Dreieck DAHa ist
sin(α) = h / a.
Mit Kosinussatz in Dreieck ABD ist (nach Zusammenfassen und Ausklammern von (a=b)² ):
f² = a²(2 - 2cos(α));
- wegen α < 90° (siehe Bezeichnungen) ist cos(α) = √ ( 1 - sin²(α)) =
√ ( 1 - h²/a² ) =
- Hauptnenner, auf einen Bruch, teilweise (d.h. den Nenner) radiziert
√ (a² - h²) / a ;
Einsetzen:
f² = a²(2 - 2√ (a² - h²) / a); | √
f = a √ ( 2 - 2√ (a² - h²) / a )
Da jede Raute ein Parallelogramm ist, gilt für den Flächeninhalt F:
a h = F = e f / 2; | * 2 / f
e = 2 a h / f =
- Formel für f einsetzen:
2 a h / ( a √( 2 - 2√ (a² - h²) / a ) ) =
- a kürzen, 2 unter der äußeren Wurzel ausklammern, √(xy) = √(x)√(y)
2 h / ( √(2) √( 1 - √ (a² - h²) / a ) ) =
- 2 = (√(2))²; √(2) kürzen:
h √(2) / √ ( 1 - √ (a² - h²) / a )
Grundsätzlich solltest Du Dir immer eine Skizze machen und die gegebenen und gesuchten Größen (am besten farbig in zwei unterschiedlichen Farben) einzeichnen. Da sieht man dann schon häufig einen Weg.