DGL harmonischer Oszillator?

Also meine Aufgabe in der Oberstufe ist es einen Vortrag über Differentialgleichungen zu halten. Den Part habe ich auch, und ich soll die DGL des harmonischen Oszillators über das lineare Kraftgesetz herleiten.

Dazu habe ich aber nur schwammig was gefunden, also wie funktioniert das? Und kann man die DGL überhaupt auch lösen?

Answer 1

[indiachinacook]

Du weißt hoffentlich daß des Hooke’sche Kraftgesetz F=−kx lautet (x ist die Ko­or­di­nate, k die Federkonstante), natürlich ist nach Newton Kraft=Masse⋅Beschleunigung F=ma=mẍ (ich schreibe für Zeitableitung einfach einen Punkt bzw. für die zweite zwei Punkte, und die Beschleunigung ist ja die zweite Ableitung der Ortskoordinate), also bekommst Du mẍ=−kx bzw. mẍ+kx=0

Answer 2

[AMG38]

Verbinde das Hookesche Gesetz mit Newtons zweitem Satz.

Dann erhältst du die DLG des harmonischen Oszillators.

Answer 3

[gauss58]

Zum Thema findest Du im Internet einige Erläuterungen.

Schwingungsgleichung: k * x + m * x'' = 0

Siehe z.B.:

https://www.youtube.com/watch?v=G2zIUd2LvGM&list=PLdTL21qNWp2YR-C9_H1iCRp7rSSRxXA15

Answer 4

[isohypse]

Rückstellkraft ist proportional zur Auslenkung.

Das führt auf

$m\ \frac{d^2y}{dt^2}+C\cdot y\ =\ 0$

Das ist eine Differenzialgleichung zweiter Ordnung, die man natürlich lösen kann. Dazu machst du einfach einen harmonischen Ansatz

$y\left(t\right)=A\cdot\sin\left(\omega t\right)$