Für was braucht man Differentialgleichung DGl
Hallo Community für was braucht man eigentlich Differentialgleichungen ??. Warum braucht man speziell bei den linearen gedämpften Schwingungen eine Differentialgleichung und welchen Sinn erfüllt sie?
3 Antworten
Indem man Größe und Veränderung der Größe in Beziehung setzt, lassen sich viele Vorgänge in der Natur und Wirtschaft beschreiben.
Differentialgleichungen tauchen überall auf, sie sind von zentraler Bedeutung für die gesamte Wissenschaft. Nur um das schon einmal klarzustellen ...
Wie kommts? Sehr oft kann man eine Größe, für die man sich interessiert, nicht direkt beobachten oder messen, oft fällt es einfacher die Veränderung dieser Größe zu bestimmen. Ein schönes Beispiel hierfür ist der radioaktive Zerfall, wir interessieren uns also nach welcher Gesetzesmäßigkeit radioaktives Material zerfällt. Die Bestimmung der Zahl der Atome in einem Präparat ist keine so einfache Aufgabe. Viel einfacher fällt es die Aktivität zu bestimmen, also wie stark dein Präparat strahlt, denn daraus kannst du aus der Art der Strahlung schließen wie viele Kerne pro Sekunde zerfallen. Der Zerfall an Kernen ist (ausreichende Zahl an Atomen vorausgesetzt) proportional zur Zahl der Atome, wenn du also doppelt so viel von deinem radioaktiven Präparat betrachtest, ist die Aktivität doppelt so groß. Schon bist du bei einer Differentialgleichung, deren Lösung dich zu einer Exponentialfunktion führt! In einer DGL sucht man also als Lösung nach einer Funktion, etwa f(x) = x², nicht einer Zahl. In diesen Gleichungen taucht diese Funktion und, je nach Typ der DGL, auch eine oder mehrere ihrer Ableitungen auf.
Für den linearen, gedämpften, harmonischen Oszillator "braucht" man keine Differentialgleichung, sie ergibt sich ganz natürlich bei der Aufstellung der Bewegungsgleichung nach Newton! Wir haben eine rücktreibende Kraft, die linear mit der Auslenkung wächst (Proportionalitätskonstante k) und eine Dämpfung proportional (Konstante b) zur Geschwindigkeit des Massepunktes. Die Bewegungsgleichung lautet also
m * a (t) = - k * x (t) - b * v (t)
Diese harmonische, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung gilt es nun zu lösen, um die Orts-Zeit-Funktion x(t) zu bestimmen. Als Lösung ergibt sich, je nach Anfangsbedingungen, eine abklingende Sinus- oder Cosinus-Schwingung.
Eine Differentialgleichung beschreibt eine Funktion. Beispiel: y = x . Wenn du den Graph dazu zeichnest, hast du hier eine Grade mit einer Steigung (hier 1) Die Differentialgleichung zeigt dir das an, die Steigung nämlich.
Richtig. Aber selbst die Realschüler werden in der Physik (Dynamik) mit Formeln konfrontiert, die mathematisch Integrale bzw. umgekehrt Differentiale sind, nur sagt ihnen das niemand. Triviales Beispiel: Beschleunigung a. Daraus folgt Geschwindigkeit v = a t und Strecke s = ½ a t². Differentialgleichungen werden sehr viel in der Steuerungs- und Regelungstechnik gebraucht und verwendet; Integralgleichungen dagegen sehr oft in der Elektrotechnik - davon blieb ich zum Glück verschont.
das macht ja die 1. Ableitung auch