DGL 1. ORDNUNG?

Hey, ich brauche bei dieser Aufgabe Hilfe, ich hoffe Jemand kann mir helfen.

Lösen sie die folgenden linearen DGL mit Anfangswertproblem mit Variation der Konstanten.

y(t)‘-4y(t) = e^2t

Wie muss ich Vorgehen? Egal was ich bisher gerechnet habe, es war falsch. Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe.

Answer 1

[mihisu]

Erst einmal vermute ich stark, dass du y′(t) statt y(t)‘ meinst, und dass du e^(2t) statt e^2t meinst. [Denn e^2t wäre streng genommen (e^2)⋅t.] Also...

$y'(t)-4y(t)=\text{e}^{2t}$

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Löse zunächst die entsprechende homogene Differentialgleichung, also die Differentialgleichung ohne das Störglied e^(2t). Dafür kannst du nutzen, dass eine homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung der Form...

$y'(t)-a(t)\cdot y(t)=0$

... mit stetiger Funktion a die allgemeine Lösung...

$y(t)=C\cdot \text{e}^{A(t)}$

... mit Konstante C hat. Dabei ist A eine Stammfunktion zu a.

Im konkreten Fall hat nun die homogene Differentialgleichung...

$y_\text{h}'(t)-4 y_\text{h}(t)=0$

... die Lösung...

$y_\text{h}(t)=C\cdot\text{e}^{4t}$

Nun kann man das Verfahren „Variation der Konstanten“ nutzen, um die ursprüngliche (inhomogene) Differentialgleichung y′(t) - 4 y(t) = e^(2t) zu lösen. Dabei wird in der homogenen Lösung die Konstante C durch eine Funktion ersetzt. D.h. man betrachtet nun den Ansatz...

$y(t)=C(t)\cdot\text{e}^{4t}$

... mit Ableitung...

$y'(t)=C'(t)\cdot\text{e}^{4t}+4\cdot C(t)\cdot\text{e}^{4t}$

Dies kann man nun in die Differentialgleichung y′(t) - 4 y(t) = e^(2t) einsetzen und die Gleichung etwas vereinfachen. Die Gleichung kann man dann nach C′(t) auflösen, und durch Integration erhält man C(t), was man wiederum in den Ansatz y(t) = C(t) ⋅ e^(-4t) einsetzen kann, um die gesuchte Lösung der Differentialgleichung zu erhalten.

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Kompletter Lösungsvorschlag zum Vergleich:

Comments

[LARA817382]

Danke!!!! Welcher Rechner ist das, was du benutzt hast? :)

Answer 2

[DerRoll]

Das ist eine völlig triviale lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Was hast du denn bisher gerechnet das so falsch war? Und was hat das mit Schule zu tun?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Comments

[LARA817382]

Ich habe aus versehen die falsche Aufgabe eingetippt. Habe es jetzt nochmal verbessert, die Gleichung lautet y‘+y/t = 3e^-t. Für K(t) habe ich -3e^-t(t+1)+c. Y(t) soll -3e^-t(1+1/t)+c/t sein, da komme ich aber nicht drauf ..