DGL 1. ORDNUNG?
Hey, ich brauche bei dieser Aufgabe Hilfe, ich hoffe Jemand kann mir helfen.
Lösen sie die folgenden linearen DGL mit Anfangswertproblem mit Variation der Konstanten.
y(t)‘-4y(t) = e^2t
Wie muss ich Vorgehen? Egal was ich bisher gerechnet habe, es war falsch. Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe.
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/mihisu/1507493208281_nmmslarge__27_27_495_495_365edc29f3a8f4bb31cf67220050d253.png?v=1507493210000)
Erst einmal vermute ich stark, dass du y′(t) statt y(t)‘ meinst, und dass du e^(2t) statt e^2t meinst. [Denn e^2t wäre streng genommen (e^2)⋅t.] Also...
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Löse zunächst die entsprechende homogene Differentialgleichung, also die Differentialgleichung ohne das Störglied e^(2t). Dafür kannst du nutzen, dass eine homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung der Form...
... mit stetiger Funktion a die allgemeine Lösung...
... mit Konstante C hat. Dabei ist A eine Stammfunktion zu a.
Im konkreten Fall hat nun die homogene Differentialgleichung...
... die Lösung...
Nun kann man das Verfahren „Variation der Konstanten“ nutzen, um die ursprüngliche (inhomogene) Differentialgleichung y′(t) - 4 y(t) = e^(2t) zu lösen. Dabei wird in der homogenen Lösung die Konstante C durch eine Funktion ersetzt. D.h. man betrachtet nun den Ansatz...
... mit Ableitung...
Dies kann man nun in die Differentialgleichung y′(t) - 4 y(t) = e^(2t) einsetzen und die Gleichung etwas vereinfachen. Die Gleichung kann man dann nach C′(t) auflösen, und durch Integration erhält man C(t), was man wiederum in den Ansatz y(t) = C(t) ⋅ e^(-4t) einsetzen kann, um die gesuchte Lösung der Differentialgleichung zu erhalten.
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Kompletter Lösungsvorschlag zum Vergleich:
![- (Mathematik, DGL, DGL 1. Ordnung)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/432576047/0_big.png?v=1641586640000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/12_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Danke!!!! Welcher Rechner ist das, was du benutzt hast? :)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Das ist eine völlig triviale lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Was hast du denn bisher gerechnet das so falsch war? Und was hat das mit Schule zu tun?
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/12_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ich habe aus versehen die falsche Aufgabe eingetippt. Habe es jetzt nochmal verbessert, die Gleichung lautet y‘+y/t = 3e^-t. Für K(t) habe ich -3e^-t(t+1)+c. Y(t) soll -3e^-t(1+1/t)+c/t sein, da komme ich aber nicht drauf ..