Hilfe! Ich kann die Aufgabe in DGL kaum lösen?

Im folgendem ist eine Aufgabe mit Variation der Konstanten, die ich versucht habe, aber nicht lösen konnte. Es wäre nett, wenn mir einer noch vor meine Prüfung die Aufgabe berechnen könnte.

Answer 1

[mihisu]

Löse zunächst die entsprechende homogene Differentialgleichung (also ohne das Störglied, welches sich hier auf der rechten Seite befindet, erkennbar daran, dass da kein y mit dabeisteht).

$\cosh\left(x\right)\cdot y_{\text{h}}'-\sinh\left(x\right)\cdot y_{\text{h}}=0$

Für diese homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung kann man die folgende Formel nutzen, wenn man sie kennt...

Im konkreten Fall kann man zunächst durch cosh(x) dividieren...

$y_{\text{h}}'-\frac{\sinh\left(x\right)}{\cosh\left(x\right)}\cdot y_{\text{h}}=0$

Zu sinh(x)/cosh(x) kann man log(cosh(x)) als eine Stammfunktion erkennen, weshalb man dann die folgenden Lösungen der homogenen Differentialgleichung erster Ordnung erhält...

$y_{\text{h}}\left(x\right)=C\cdot\text{e}^{\log\left(\cosh\left(x\right)\right)}$

$y_{\text{h}}=C\cdot\cosh\left(x\right)$

[Alternativ könnte man, wenn man die allgemeine Lösung für lineare Differentialgleichungen erster Ordnung nicht kennt, die homogene Differentialgleichung mit Trennung der Variablen lösen. Dazu zunächst sinh(x) ⋅ yₕ durch Addition auf die andere Seite bringen. Dann durch sinh(x) und durch yₕ dividieren, dass auf der einen Seite nur yₕ und kein x steht und auf der anderen Seite nur x und kein yₕ steht. Dann kann man integrieren.]

Wenn man dann jedenfalls soweit ist und yₕ = C ⋅ cosh(x) als allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Differentialgleichung gefunden hat, kann man nun mit der eigentlichen Variation der Konstanten beginnen.

Dafür wird die Konstante C nun durch eine Funktion C(x) ersetzt. Man erhält den Ansatz

$y\left(x\right)=C\left(x\right)\cdot\cosh\left(x\right)$

Setze diesen Ansatz in die ursprüngliche Differentialgleichung cosh(x) ⋅ y' - sinh(x) ⋅ y = -7 cosh³(x) ein. Vereinfache die so entstehende Gleichung (dabei sollten sich einige Terme wegkürzen lassen). Die Gleichung löst du dann nach C'(x) auf und integrierst dann, um C(x) zu finden. Wenn du dann den gefundenen Funktionsterm für C(x) in den Ansatz y(x) = C(x) ⋅ cosh(x) einsetzt, hast du die gesuchte Lösung der Differentialgleichung gefunden.

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Kompletter Lösungsvorschlag zum Vergleich:

Möglicher Rechenweg, um die homogene Differentialgleichung zu lösen, falls du die allgemeine Lösung von homogenen linearen Differentialgleichungen erster Ordnung nicht kennst. [Allerdings solltest du die bestimmt kennen.]

Answer 2

[Phil093]

Wo hängts denn?

Bei der Durchführung allgemein, beim Umformen oder beim Integrieren?

Wie sehen deine Ansätze aus?

Comments

[shkbh]

Bei der Durchführung allgemein