Determinante falsch berechnet?
Hallo zusammen,
kann mir jemand sagen was ich falsch mache?
Ich muss die Determinante einer Matrix berechnen. ich habe die Matrix in eine Dreiecksmatrix gebracht und die diagonalen Einträge miteinander multipliziert, also 1*2*(-10)*(-12) was nicht 24 ist. Das richtige Ergebnis müsste 24 sein. Kann jemand helfen?
2 Antworten
Du solltest bedenken, dass entsprechende Zeilenumformungen den Wert der Determinante verändern können...
- Addiert man zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile, so ändert sich der Wert der Determinante nicht.
- Multipliziert man eine Zeile mit einer Zahl k, so ist der neue Wert der Determinante das k-fache des vorigen Wertes der Determinante. [Dementsprechend muss man am Ende mit einem Faktor 1/k korrigieren, um dies auszugleichen.]
- Vertauscht man zwei Zeilen, so ist der neue Wert der Determinante das (-1)-fache des vorigen Wertes der Determinante. [Dementsprechend muss man am Ende mit einem Faktor (-1) korrigieren, um dies auszugleichen.]
Im konkreten Fall:
- Der Schritt „2 Z₃ - 3 Z₂“ ist eine Kombination aus einer Multiplikation der dritten Zeile mit 2 [weshalb man am Ende mit 1/2 korrigieren muss] und der Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
- Der Schritt „5 Z₄ + 2 Z₃“ ist eine Kombination aus einer Multiplikation der vierten Zeile mit 5 [weshalb man am Ende mit 1/5 korrigieren muss] und der Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
Dementsprechend musst du im konkreten Fall am Ende den Wert 1 ⋅ 2 ⋅ (-10) ⋅ (-12) = 240 mit einem Faktor 1/2 ⋅ 1/5 korrigieren, was dann den richtigen Wert 1/2 ⋅ 1/5 ⋅ 240 = 24 für die Determinante der ursprünglichen Matrix A liefert.
Die Zeilenumformungen verändern den Wert der Determinante. Siehe zum Beispiel auch https://www.mathebibel.de/determinante-berechnen-nach-gauss
Also wenn ich z.B eine ganze Zeile durch einen Wert teile, verändert es die Determinante auch?
Ganz genau!
Wie bringe ich diese Matrix in Zeilenstufenform ohne den Wert der Determinante zu verändern?
Am besten gar nicht, nutze den Laplace'schen Entwicklungssatz! Bietet sich bei dieser Matrix besonders an, weil sie eine Zeile hat, in der alle Einträge außer einem gleich Null sind.
Bei dir kommt ja 1*2*(-10)*(-12) = 240 raus. Mit dem Hinweis von PhotonX siehst du, dass du einmal Zeile 3 mit 2 multiplizierst und Zeile 4 mit 5 => 2*5=10. Wenn du nun deine Determinante durch 10 teilst kommt deine 24 raus. Das Multiplizieren einer Zeile ändert den Wert der Determinante, wenn du das tust, musst du am Ende auch wieder teilen. Wenn du das Umgehen möchtest, dann rechne nicht z.B. (2z_3 - 3z_2), sondern (z_3 - 3/2 z_2). so veränderst du den Wert nicht
Wie bringe ich diese Matrix in Zeilenstufenform ohne den Wert der Determinante zu verändern? Also wenn ich z.B eine ganze Zeile durch einen Wert teile, verändert es die Determinante auch?