Determinante Eigenschaften Dreiecksmatrix?
Hallo zusammen,
Kann mir das Jemand erklären? Das alles ist so unverständlich für mich, sodass mir schwerfällt überhaupt noch zu fragen, was ich nicht verstehe.
Ich weiß wie man eine Determinante (was auch immer das ist) von einer Matrix (was auch immer das ist) berechnet. Was will mir diese Proposition überhaupt sagen?
Also bei a) habe ich Lambda herausgenommen, das müsste doch heißen, dass alle Elemente einer Matrix durch Lamda teilbar sind?
Versteht das jemand gut und könnte das alles erklären?
2 Antworten
Du kennst sicherlich lineare Abbildungen, oder? Das sind Abbildungen bei denen f(x+y) = f(x) + f(y) und f(λx) = λf(x) gilt.
Die Determinante (oder allgemeiner Determinantenformen) ist eine multilineare Abbildung, das bedeutet, dass sie in jedem einzelnen Argument für sich linear ist. Wenn du bspw. ein f hast mit 3 Argumenten, also f(x,y,z) sozusagen, dann ist f multilinear, wenn f in jedem Argument linear ist, ausgeschrieben: f(x+v, y, z) = f(x,y,z) + f(v,y,z), f(λx, y, z) = λf(x,y,z), dasselbe auch für y und z. Daraus ergeben sich ein paar weitere Regeln, zb ist dann f(λx, λy, λz) = λ³f(x,y,z). Dasselbe lässt sich natürlich für beliebig viele Argumente verallgemeinern
Was diese Proposition einfach aussagt ist, dass es sich bei der Determinante um eine multilineare Abbildung handelt, mehr ist das auch schon nicht.
Jangler hat unten ein gutes Video verlinkt, welches erklärt, was die Determinante anschaulich bedeutet (nämlich das Volumen des geometrischen Körpers welches von den Vektoren der Matrix aufgespannt wird).
Die Proposition liestet die Eigenschaften der Determinante auf.
Also bei a) habe ich Lambda herausgenommen, das müsste doch heißen, dass alle Elemente einer Matrix durch Lamda teilbar sind?
Nein das bedeutet, dass wenn du eine Zeile der Matrix ver-lamda-fachst, dass ich dann die Determinante der Matrix ver-lambda-facht.
Falls du Englisch verstehst, empfehle ich dir folgendes Video, welches erklärt, was die Geometrische Interpretation der Determinante ist (nämlich der orientierte Flächeninhalt von dem Parallelelepiped, der von den Vektoren aufgespannt wird):
Vielleicht verstehst du dann, was mit den Eigenschaften gemeint ist, und wieso diese Eigenschaften sinnvoll sind. (Allgemein ist seine Playlist für die Lineare Algebra und die Analysis super)