wie finde ich einen linear unabhängigen Vektor?

Hey, ich bin hier gerade an aufgabe c) :

Im aufgabenteil a) bin ich bereits darauf gekommen, dass die Vektoren für a = -1 linear abhängig und sonst linear unanhängig sind.
Nun soll ich ja aber auch für den Fall das a = -1 ist Vektoren finden, die zu einem Erzeugendensystem ergänzen.
Ich verstehe gerade leider nicht, wie ich das machen soll.

Vielen Dank für jede Hilfe!

Answer 1

[MiCHi285]

Das kleinstmögliche Erzeugendensystem ist eine Basis. Im R4 braucht du also 4 linear unabhängige Vektoren.

Da du Vektoren unabhängig von a finden sollst, schließen wir den 3. Vektor aus, da sich dieser aus v1 und v2 ergibt.

Um eine Basis zu finden, nimmt man am besten immer die Standardbasisvektoren.

Hier kannst du zuerst e1 und e2 wählen und schaust, ob diese linear unabhängig zu v1 und v2 sind. Wenn nicht, kannst du dir ja noch e3 und e4 anschauen.

Comments

[MiCHi285]

Nein, auf keinen Fall. Mit allen 4 Einheitsvektoren könntest du ja v1 und v2 darstellen. Umgekehrt könntest du also mit v1 bzw v2 und 3 Einheitsvektoren den 4. Einheitsvektor erzeugen.

Um auf linear Unabhängigkeit zu prüfen, könntest du 4 ausgewählte Vektoren in eine Matrix schreiben und sie per Gaußelimination auf eine dreiecksgestalt bringen. Ergibt sich hierbei mind. eine 0 Zeile bzw. Spalte, weißt du, dass die vektoren nicht linear unabhängig sind. Das heißt, so viele Zeilen/Spalten du erhälst, die nicht nur aus 0en bestehen, so viele linear unabhängige Vektoren hast du.

Dies ist gleich zu dem System, wenn du eine Gleichung aufstellst a*v1 + b*v2 + c*v3 +d* v4 =0. Wenn die einzige lösung a=b=c=d=0 laitet, hast du auch lineare Unabhängigkeit von 4Vektoren und somit eine Basis und somit das kleinst mögliche Erzeugendensystem.

[awakenedChild]

Hey, danke für die Antwort, hat mir sehr geholfen! Ich bin mir nur nicht sicher ob ich den vergleich zweier verktoren auf lineare unabhängikeit richtig mache. Zu e1 ist ja dann nur ein vektor kollinear der nur an der x position ungleich 0 ist oder ? Sogesehen könne ich aber ja JEDEN der einheitsvektoren dazu nehmen, stimmt das so wirklich?