Lineare Algebra - Äquivalenzrelation?
Ich sitze seit einer gefühlten Ewigkeit an der Aufgabe und komme traurigerweise nicht mal auf einen Ansatz.
Kann mir bitte jemand helfen?
Lieben Dank :)
3 Antworten
Ein paar Anmerkungen zum besseren Verständnis:
zu (a): Zwei n-Tupel sind äquivalent, wenn sie dieselben Elemente (in unterschiedlicher Reihenfolge) haben. Du musst zeigen, dass ~ reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Verwende dazu id∈Sₙ, 𝜎⁻¹∈Sₙ, 𝜎₂∘𝜎₁∈Sₙ (und frag nach, wenn Dir irgendwas zu Permutationen unklar ist).
zu (b): f macht aus jeder solchen Äquivalenzklasse eine Funktion A→ℕ₀: Aus einem Tupel q=(q₁, ..., qₙ) wird die Funktion f(q), die für jedes a∈A sagt, wie oft es in q steckt. Zeige, dass die Reihenfolge in q dabei keine Rolle spielt. Nur deshalb kann f auf den Klassen (statt einzelner Tupel) definiert werden.
Beispiel:
A={ A-Z }, n=5. Tupel sind z.B. "REGIE", "GEIER" oder "RIEGE". Die drei sind sogar zueinander äquivalent.
Die Funktion f bildet "REGIE" (und jede Permutation davon) auf eine Funktion z=f(q) ab mit z(E)=2, z(R)=z(G)=z(I)=1 und z(x)=0 sonst.
zu (c): in (b) hast Du gezeigt, dass f für zwei äquivalente Tupel dieselbe Funktion z definiert. Hier musst Du zeigen, dass zwei nicht äquivalente Tupel q₁≁q₂ nicht dieselbe Funktion z ergeben. Es muss also ein a geben, das in q₁ und q₂ nicht gleich oft vorkommt. Formal zeigst Du wohl am einfachsten f(q₁)=f(q₂) ⇒ q₁~q₂ (weil alle „Buchstaben“ in q₁ und q₂ gleich oft vorkommen müssen). Wenn ich es recht sehe, sollte das für beliebige A gelten.
zu (d): Für welche a∈A ist die Funktion z(a)=n+1 im Bild von f? Ich sehe da keines, also ist f(Aⁿ)⊆ℕ₀ᴬ\{z} nicht surjektiv. Jede andere Funktion z, deren Funktionswerte sich nicht zu genau n aufsummieren, taugt ebenso als Gegenbeispiel.
Allerdings solltest Du nachschauen, ob ℕ₀ᴬ bei euch irgendeine spezielle Definition hat, die meine Gegenbeispiele ausschließen.
zu (e): Das hat sich ja mit (d) erledigt. Aber das macht mich stutzig ...
Zwei Elemente aus A^n stehen in Relation zueinander, wenn es eine Permutation gibt, die die Einträge des ersten Elements so vertauscht, sodass du das zweite Element erhälst.
Prüfe nun, ob die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation erfüllt sind
Guck dir am besten nochmal genau die Definition von Relationen an und überprüfe, ob die bedingen erfüllt sind. Da S_n eine Gruppe bildet, solltest du alle nötigen Eigenschaften daher bekommen.
Seltsam, dass ihr das benutzt, ohne das behandelt zu haben. Die symmetrische Gruppe besteht aus allen Permutationen. Eine Permutation ist eine Vertauschung von Einträgen. Beispiel:
Sei sigma die Abbildung, die den zweiten mit dem dritten Eintrag vertauscht:
(x1,x2,x3) -> (x1,x3,x2)
Ist jetzt vielleicht keine sehr intelligente Frage aber was genau sind diese symmetrischen Gruppen? Sind mir noch nicht untergekommen...