Kann man es so begründen?
Hallo liebe Community,
Ich möchte zeigen oder begründen, warum die Funktion f(x)=1/x im Intervall (0, ∞) surjektiv ist.
Bei Surjektivität gilt: für jedes y∈Y gibt es ein x∈X so dass f(x)=y.
Beweis:
Wir nehmen an, dass f bijektiv ist. Insbesondere ist es dann surjektiv. Dann müssen wir annehmen, dass für f(x)=1/x eine Umkehrfunktion f(y)=1/y bzw. x=1/y geben muss. Nun möchten wir zeigen, dass es trotzdem ein y∈Y⊆ℝ gibt für den das Urbild leer ist, also folgendes muss gelten: ∅=1/y. Da aber y∈ℝist, kann 1/ℝ nie leer sein. Das heißt, die Gleichung ∅=1/y kann nie erfüllt werden. Daraus folgt, dass f surjektiv ist.
Kann man das so begründen? Falls es richtig ist, gibt es eine einfachere Methode dies zu beweisen/begründen?
Für hilfreiche Antworten wäre ich sehr dankbar.
Soll der Definitions und Werte-Bereich beides gleich (0, unendlich) sein, oder ist der Wertebereich ganz R?
Also die Funktion lautet: f : (0, ∞) → (0, ∞), x → 1/x. Also Definitionsbereich und Wertebereich sind (0,+unendlich)
1 Antwort
Für surjektivität reicht es zu zeigen, dass es für jedes y aus (0, unendlich) ein X aus (0,unendlich) gibt, sodass f(x)=y.
Das ist offensichtlich der Fall, wenn x=1/y ist.
Da y >0 ist, ist 1/y immer definiert und größer als 0.
Somit ist die Funktion surjektiv.
"Das 0 ist aber doch immerhin eine Menge?"
Was genau meinst du damit?
Bzw was ist da das Problem?
Ich bin etwas überfordert. Ich habe ganze zeit gedacht ich muss zeigen dass 1/y keine leere Menge sein kann, weil "nicht surjektiv" bedeutet dass es für ein y das Urbild die leere Menge ist. Und genau das muss man widerlegen. Naja egal, muss halt darüber nochmal nachdenken.
Könntest du mir vielleicht helfen den Definitionsbereich und Wertebereich sowie die Funktionsvorschrift von der Umkehrfunktion anzugeben?
Also Definitionsbereich und Wertebereich bleiben die gleichen (0, ∞) → (0, ∞). Aber wie schreibe ich die Umkehrfunktion richtig? Also f^-1(y)=1/y? und was ist mit Funktionsvorschrift genau gemeint?
"1/y keine leere Menge sein kann"
Das ist nie der Fall, weil Terme nie eine Leere Menge als wert haben.
Ja, f^-1(y)=1/y
Die Funktionsvorschrift lautet dann:
f: (0, unendlich) -> (0, unendlich)
y |-> 1/y
Hey danke für die Antwort. Du hast geschrieben, dass
Da y >0 ist, ist 1/y immer definiert und größer als 0.
Was meinst du genau damit? Bei Surjektivität heißt es, dass es für jedes y aus Y mindestens ein Urbild existiert. Das müsste doch bedeuten, dass die Funktion f nur dann nicht surjektiv ist, wenn für das Bild y aus Y kein Urbild x aus X gibt beziehngsweise die Menge leer ist. Das 0 ist aber doch immerhin eine Menge?