Beweisführung für "Ein Kreis hat keine Ecken"?
Eine Frage hat mich gerade auf diesen Gedankengang gebracht. Wie kann man beweisen, dass ein Kreis keine Ecken hat? In der Definition der Punktemenge ist das meines Erachtens nicht zwangsläufig festgemacht.
Wie lässt sich das also (axiomatisch) beweisen?
LG
4 Antworten
Ich würde zeigen, dass die axiomatische Definition gleichbedeutend mit der impliziten Funktionsgleichung x^2+y^2=r^2 ist und dann zeigen, dass die Ableitung der Funktion in jedem Punkt stetig ist.
Ich würde darauf aufbauen, dass ein Kreis die Menge aller Punkte mit dem selben Abstand zu einem Mittelpunkt ist. Eine Ecke ist durch eine Gerade mit der benachbarten Ecke verbunden. Wenn wir uns auf der Geraden von einem Eckpunkt zum nächsten bewegen, können wir unmöglich an jeder Stelle gleich weit weg vom Kreismittelpunkt sein.
Beweisskizze: Nennen wir die Länge des Lotes vom Mittelpunkt O zu Geraden L, einen Punkt auf der Geraden P und den Winkel zwischen L und dem Strahl OP=r alpha, dann ist r=L*sec(alpha). Offensichtlich ändert sich r mit alpha, womit wir einen Widerspruch haben.
Okay um genau zu sein ändert sich r nicht, wenn dr/d(alpha)=0, resp. alpha 0 ist. Konsequenz: die Ecken müssen unendlich nah beisammen sein und r steht immer senkrecht auf den Kreis!
Vielen Dank! Leider kann ich nur eine Antwort auszeichnen, Du hättest sie aber definitiv ebenfalls verdient.
Versuch mal einen Kreis mit Dreiecken zu füllen. Du wirst theoretisch unendlich lange zeichnen, es wird niemals aufhören. Versuch mal z.B. irgend ein Viereck mit Dreiecken füllen. Je nach Viereck wirst du nur 2 Dreiecke benötigen.
Du wirst theoretisch unendlich lange zeichnen
Richtig, aber das ist gleichbedeutend mit obiger These (unendlich viele Ecken ist dasselbe wie keine Ecken) und somit kein Fortschritt.
Ein Kreis hat Ecken!
Genau definiert ist ein Kreis ein unendliches Vieleck, hat also sogar unendlich viele Ecken.
Ja, ist im Prinzip dasselbe - ein Beweis, dass ein Kreis unendlich viele Ecken hat, geht natürlich auch.
Es ist aber axiomatisch höchst bedenklich, wenn du akzeptierst, daß ein Kreis sowohl Null Ecken hat als auch unendlich viele. ;-)
Nicht sowohl als auch, sondern entweder oder - je nach Definition. Darauf kann man dann entsprechend aufbauen.
Naja. Wie mans nimmt.
Auf eine klare Definition einer "Ecke" von der Fragerin (in der ursprünglichen Frage) warte ich noch. ;-)
Fragerin? Meinst Du mich? - wenn auch keine Fragerin ;-)
Nein.
Natürlich nicht dich. Die FruchtMutti:
https://www.gutefrage.net/frage/-hat-ein-kreis-unendlich-oder-keine-ecken-#answer-283082980
;-)
So schnell kann's gehen. Herzlichen Dank!