Beweisführung einer konvergenten Folge verstehen?
Hey liebe Gutefrage-Community,
ich verstehe beim Thema der Konvergenz von Folgen die Beweisführung nicht ganz. Den Limes einer Folge aufzustellen, verstehe ich schon und auch, was er aussagt. Wir müssen dies aber mit einer Art "Beweisführung" belegen. Ich habe dieses Beispiel aus der Vorlesung mitgeschrieben. Das Aufstellen des Limes und die Vereinfachung des Terms verstehe ich noch, bis zum Punkt des "Abschätzens".
Wieso verschwindet im fünften Schritt die 7 im Nenner? Und wieso zieht man im Anschluss das n hinter die 11 und setzt dafür die 1 ein, um bei 12 zu landen? Ich verstehe auch die Folgerung im Anschluss nicht ganz. Epsilon soll eine beliebige Zahl größer 0 sein. Und dann haben wir noch ein n0, bei dem ich nicht sicher bin, wofür es steht oder worin das Ziel am Ende noch besteht?
1 Antwort
Du solltest dir das Thema "Abschätzungen" nochmal anschauen.
Wenn du im 5. Schritt den Nenner kleiner machst (eben n^2+7 durch n^2 ersetzt), wird der Wert des Bruches größer, daher auch das "<=" an der Stelle.
Im nächsten Schritt macht man den Zähler größer, indem man statt |n-11| den Wert (n+11) benutzt. Warum man das macht, steht in der nächsten Zeile: n+11 <= 12n. Da wird übrigens keine 1 eingesetzt; da steht "12n", nicht "12". Bitte genau lesen.
In der Gleichung (A) ist ein Fehler; das erste Gleichheitszeichen (hinter dem Betrag) muss ein "<=" sein.
Vielen Dank für die Antwort. Ich habe mich nun eingehend sowohl mit der Abschätzung als auch nochmal mit dem Epsilon-Kriterium befasst und fühle mich dem Verständnis etwas näher. Ich denke einfach, dass mich die Notation des Beweises und das Zusammenspiel von Epsilon und n0 hier verwirren.