Beweis, dass A und P^(-1) A P dieselben Eigenwerte haben?

Als Tipp wurde gegeben, dass det(AB) = det(A) * det(B)

Ich habe folgendes gemacht:

det[ P^(-1) A P ] = det(P^(-1)) * det(A) * det(P) = det(A)

Ich weiss nun also, dass die beiden Matrizen die gleiche Determinante haben. Dies beweist aber noch nicht, dass auch die Eigenwerte dieselben sind, richtig?

Weiss jemand, wie man den Beweis fortsetzen kann?

Answer 1

[mihisu]

Ich weiss nun also, dass die beiden Matrizen die gleiche Determinante haben. Dies beweist aber noch nicht, dass auch die Eigenwerte dieselben sind, richtig?

Richtig. Das ist so nicht zielführend.

============

Überlege dir doch mal, wie du normalerweise Eigenwerte einer Matrix A berechnest. Dazu wirst du doch normalerweise das charakteristische Polynom...

$\chi_{A}\left(\lambda\right)=\det\left(A-\lambda \cdot E_{n}\right)$

[Dabei sei Eₙ die passende Einheitsmatrix.]

... betrachten und dessen Nullstellen berechnen. Denn λ ist genau dann ein Eigenwert der Matrix A, wenn...

$\det\left(A-\lambda\cdot E_{n}\right)=0$

... ist.

Dementsprechend kannst du das, was zu zeigen ist, umformulieren. Zu zeigen ist im Grunde nämlich:

$\det\left(A-\lambda\,E_n\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad \det\left(P^{-1}\,A\,P-\lambda\,E_n\right)=0$

Du solltest also nicht det(A) betrachten und den Hinweis dabei anwenden, sondern eher det(A - λ Eₙ) betrachten und den Hinweis dabei anwenden.

=====Ergänzung: Mögliche Lösung zum Vergleich=======