Warum haben die Matrizen AB und BA dieselben Eigenwerte?
Es sei K ein Körper und AB ∈ Knxn. Zeigen Sie, dass die Matrizen AB und BA dieselben Eigenwerte haben.
[Hinweis: Sei v ∈ Kn ein Eigenvektor von AB mit Eigenwert λ =/ 0. Dann gilt Bv =/ 0.]
1 Antwort
Von
Experten
FataMorgana2010
und
Halbrecht
bestätigt
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
lineare Algebra, Beweis, Mathematik
Wenn v Eigenvektor von AB mit Eigenwert lambda ungleich 0 ist, dann ist Bv ungleich 0 (Beweis durch Widerspruch) Eigenvektor von BA zum selben Eigenwert lambda, da
BA(Bv) = B(AB)v = B lambda v = lambda Bv
Somit ist jeder Eigenwert lambda ungleich 0 von AB auch Eigenwert von BA.
Ist lambda = 0 Eigenwert von AB, dann gilt det(AB) = 0 = det(BA). Also hat mit AB auch BA einen nichttrivialen Kern, somit ist lambda = 0 ebenfalls Eigenwert von BA.
Damit ist gezeigt, dass die Spektren von AB und BA übereinstimmen.
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dr. rer. nat. Analytische & Algebraische Zahlentheorie