Beweis das Pi irrational ist?
Wue kann ich beweisen das Pi irrational ohne dabei die integral Rechnung zu nehmen, weil ich die noch nicht kann.
4 Antworten
Mit Abstand das deutlichste Beispiel eines Beweises der Transzendenz des π ohne Zuhilfenahme der AnaIysis ist der Satz von Lindemann-Weierstraß. Es gilt π algebraisch über ℚ <==> ιπ algebraisch über ℚ, wobei ι eine Nullstelle von X²+1 über ℚ ist. Angenommen, π wäre algebraisch über ℚ, dann gäbe es also ein Polynom q ∈ ℚ[X] N-ten Grades mit Nullstellen z⁽¹⁾, z⁽²⁾, …, z⁽ᴺ⁾ ∈ ℂ mit o. B. d. A. z⁽¹⁾=ιπ.
Denkanstoß: es gilt exp(z⁽¹⁾) = exp(ιπ) = -1. Also 0 = ∏(exp(z⁽ᵏ⁾)+1) =: P.
Man untersucht nun Ausdrücke der Form ∏(exp(z⁽ᵏ⁾)+1) unter der Bedingung, dass alle z⁽ᵏ⁾ algebraisch über ℚ sind und paarweise verschieden. … Jetzt wende dich an die Literatur!
Die Frage war aber nur, wie man die Irrationalität von π beweisen kann. Dazu muß man nicht gleich die Transzendenz beweisen.
Ein noch spezifisches Ergebnis ist der Satz von Lindemann-Hermite, der besagt:
s alg. über ℚ ==> exp(s) nicht alg. über ℚ
für s ∈ ℂ \ {0}
Kraft dieses Satzes gilt im Falle π:
exp(ιπ)=-1 algebraisch über ℚ
==Satz==>ιπ nicht algebraisch über ℚ
========> π nicht algebraisch über ℚ
(da ι=√-1 algebraisch über ℚ)
<=Def.==> π transzendent über ℚ.
Einen Beweis auf Mittelschul-Niveau gibt es nicht. Wenn man Mathe-Abi hat, hat man die Chance, den Beweis von Niven zu verstehn. - Faktisch werden die meisten mit Mathe-Abi dennoch überfordert sein - obwohl nichts verwendet wird, was nicht auch in der Oberstufe dran war - einfach weil Beweise in der Schule kaum geübt werden.
Der Beweis mit Hilfe des Lindemann-Weierstraß, den hier jemand nannte und der gleich die Transzendenz von Pi liefert, ist zwar hübsch elegant - aber der setzt Kenntnisse voraus, die man definitiv nur an der Uni lernt; da muss man mindestens ein paar Semester Mathe studiert haben. Insofern ist der völlig deplaziert, wenn jemand - wie du jetzt - sagt, dass er noch nicht mal bis zur Integralrechnung gekommen ist.
Unter http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm
findet man 2 Beweise zur Irrationalität:
egal ob nun Integrale, unendliche Summen oder Kettenbrüche.
Interessant auch "6. Bruch-Funktionen, die gegen Pi konvergieren".
Erst bei UNENDLICH (also NIE) stimmt der Bruch mit Pi überein.
Folge: in der Praxis gibt es nur Vielecke (Weltall hat nur 10^80 Atome) aber keinen perfekten Kreis. Kürzeste Strecke siehe Planck Länge ist begrenzt und kann nicht unendlich kurz sein!
Auch das ist im LINK unter §6 zu finden: zu n! gibt es die Stirlingsche Näherungsformel -> und der Grenzwert konvergiert eindeutig gegen Pi
bei x oder n gegen unendlich!
Würde es einen endlichen Wert geben, würde sich eine monoton steigende oder fallende (Bruch-) Folge wieder weiter von Pi entfernen!
Außerdem sind die beiden oberen Beweise ausreichend. Das mit der konvergierenden Bruch-Folge ist nur Zugabe.
Hier sind einige Beweise beschrieben. Ohne Integralrechnung scheint keiner davon zu gehen.
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational
Ich kapierte es nie und immer noch nicht, warum Leute in Foren Wikipædia-Links überhaupt posten, wenn jeder dasselber alleine machen kann.
Es gab eine Zeit, wenn das Nachschlagen in Wikipædia statt über Literatur als echte Faulheit galt; dies wurde dann allmählich akzeptablen aber der Grad der Faulheit sank noch tiefer, zu dem Zustand, wo man sich nicht einmal die Mühe macht, auch dort oder mit einer Google-suche anzufangen.
Man kann doch gar nicht wissen, ob der Bruch erst bei unendlich mit Pi übereinstimmt. Wie soll man das herausfinden?