Berechne alle Lösungen von z^5= -5-3i?

Weiß jemand wie ich auf die Lösung komme und kann mir helfen, kann mich kaum noch konzentrieren

Danke schonmal im Voraus

Answer 1

[LUKEars]

hey... also du suchst alle z, die „hoch 5“ die kompexe Zahl „-5-3·i“ ergeben... also:

$z^5=-5-3\cdot i=\sqrt{5^2+3^2}\cdot\exp(i\cdot(\arctan(3/5)-\pi))$

jetzt 5te Wurzel ziehen:

$z=\sqrt[10]{34}\cdot\exp(\frac{1}{5}\cdot i\cdot((1+2\cdot k)\cdot\pi+\arctan(3/5))) \quad\mathsf{mit}\ k\in\mathbb{N}\wedge 0\leq k\leq 4$ oder?

Probe...

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Absolvent/Universität

Comments

[Lolli782]

Ich komme da nicht weiter, wie komme ich auf alle richtigen Ergebnisse

[LUKEars]

@Lolli782

wo kommste nich weiter?

kannst denn die 10te Wurzel aus 34 ziehen?

[Lolli782]

@LUKEars

1,42

Aber ich versteh nicht wie ich auf die ganzen Werte kommen soll also

z1

z2

z3

z4

z5

und die ganzen winkel

bin am verzweifeln

[LUKEars]

@Lolli782

das kommt daher, dass das da gilt: $e^{a\cdot i}=e^{i\cdot(a+2\cdot pi)}$

verstehst du? wenn da also das da steht: $\sqrt{34}\cdot\exp(i\cdot(\arctan(3/5)-\pi))$ steht da auch gleichzeitig das da: $\sqrt{34}\cdot\exp(i\cdot(2\cdot k\cdot\pi+\arctan(3/5)-\pi))\quad\mathsf{mit}\ k\in\mathbb{Z}$

und die Periodizität kommt durch (1/5) (also 5te Wurzel) dann mit jedem 5ten k... verstehste?

[Lolli782]

@LUKEars

Puhh ja, aber könntest du mir das vorrechnen, dass ich das anhand der Rechnung verstehe oder das es mir deutlicher wird?

[LUKEars]

@Lolli782

lol

ok... machen wir es so:

1. rechne die 10te Wurzel aus 34 für mich aus...
2. dann ArcusTangens von 3/5
3. dann 1+2*k für k=0
4. dann (3.) mal Pi plus (2.)
5. dann (4.) durch 5
6. dann (3.) bis (5.) für k=1 und k=2 und k=3 und k=4

lol

[Lolli782]

@LUKEars

1. 1.42
2. 0.54
3. 1
4. 9.96
5. 1.99

Soweit richtig?

[Lolli782]

@Lolli782

Ich hab schonmal die Ergebnisse für r nämlich 1.42

Jetzt fehlen nur noch die Winkel

[LUKEars]

@Lolli782

also bei (4.) komme ich auf 3,682'012