Beispiele für Rationale Wurzeln
Hallo:) Also ich mache grade Mathe und da halt den Beweis von Irrationalen Zahlen. Ich glaube, ich habe das Prinzip verstanden aber bei mir sind irgendwie alle Wurzeln Irrational... Deshalb weiß ich nicht ob es richtig sein kann:o Kann mir vielleicht jmd ein paar Beispiele für Rationale Wurzeln sagen? Dann kann ich nämlich gucken, was ich falsch mache. Danke schonmal:)
4 Antworten
Die Wurzel aus einer rationalen Zahl ( = einem Bruch) ist genau dann rational, wenn Zähler und Nenner des Bruchs jeden Primfaktor in gerader Potenz enthalten. Denn dann musst du die Exponenten in allen diesen einfach bloß halbieren und hast die Wurzel.
In jedem anderen Fall aber existiert schlicht keine Primfaktorzerlegung der Wurzel mit ganzzahligen Primfaktoren, weswegen die Wurzel nicht rational sein kann (darin besteht ja die Idee des Beweises der Existenz irrationaler Zahlen, von dem du wohl sprichst).
Beispiele:
√ ( 688747536 / 15625 ) = √ (2^4 * 3^16 / 5^6 ) = 2^2 * 3^8 / 5^3 = 26244 / 125
ist rational (denn alle Exponenten 4, 16 und 6 sind gerade), aber
√ (2^5 * 3^16 / 5^6 ) = √ (2) * 2^2 * 3^8 / 5^3
ist irrational, weil der Exponent "5" ungerade ist.
. . .
Für natürliche Zahlen:
√ 62 015 625 = √ (7^2 * 3^4 * 5^6 ) = 7 * 3^2 * 5^3 = 7875 ist rational, aber
√ 857 500 = √ (2^2 * 7^3 * 5^4) = 2 * √(7) * 7^2 * 5^2 ist irrational.
Z.B. die Wurzel aus jeder Quadratzahl:
√1 = 1
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√100 = 10
Reicht das?
Denk doch mal nach. Nimm eine rationale Zahl und quadrier die mal. Was hast du dann, wenn du das wieder radizierst? (z.B. √4)
Einfach wurzeln mit ganzen gerden zahlen 2,4,6,8...
Falsch, von den 4 angegebenen geraden Zahl haben bereits 3 irrationale Wurzeln.