Gibt es einen Beweis dafür, dass es mehr irrationale als rationale Zahlen gibt?

Jap.

Betrachten wir die Anzahl der rationalen Zahlen als die Mächtigkeit der Menge der rationalen Zahlen, so folgt, auf Grund der Abzahlbarkeit der rationalen, dass die Mächtigkeit Aleph_{0} ist, also die kleinstmögliche unendliche Kardinalzahl und vom Betrag her auch die kleinste unendliche Ordinalzahl.

Die Menge der irrationalen Zahlen ist auch unendlich Mächtig, aber nicht abzählbar, weswegen sie mächtiger ist als jede abzählbare Menge, wie die der rationalen Zahlen, was bedeutet, dass es mehr irrationale Zahlen gibt als rationale Zahlen.

Die rationalen Zahlen sind abzählbar, die irrationale sind überabzählbar. Das Stichwort lautet hier „Cantorsches Diagonalargument“, kannst du vielleicht mal googeln.