Aufstellen der Funktion 4. Gerades?
Hallo, ich lerne für meine Mathe Nachprüfung. Leider hatten wir kaum alle Themen in der Schule behandelt, weshalb ich viel Selbststudium in den letzten 6. Tagen gemacht habe.
Heute habe ich eine Aufgabe aus der letzten Prüfung gefunden, die mir noch etwas Sorgen bereitet.
Die lautet: Der Graph Gg der Ganz Rationale Funktion 4. Gerades verläuft achsensymetrisch zur Ordinatenachse und schneidet diese bei y=-2. Die Tangente t an Gg im Punkt Q(1;-3) hat eine Steigung m=-1. Bestimmten sie die Gleichung g.
Könnte mir vielleicht jemand helfen?
3 Antworten
Anhand des Faktes, dass der Graph achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse ist, kann man festlegen, dass die Funktion für den Graphen lautet: y=f(x)= ax^4 + bx^2 + c
Dadurch, dass der Graph die y-Achse bei -2 schneidet, kann man c als -2 festlegen. Somit kommt man auf y=f(x)= ax^4 + bx^2 - 2
Dadurch fehlen nur noch die Variablen a und b, welche durch ein Gleichungssystem gelöst werden können.
1.Gleichung:
-3 = f(1) = a*1^4 + b*1^2 -2 Diese Gleichung ergibt sich aus dem Punkt Q(1|-3)
2.Gleichung:
Für die 2. Gleichung muss zuerst die 1. Ableitung gebildet werden, diese lautet: y´ =f´(x) = 4ax^3 + 2bx
Dadurch, da bekannt ist, dass die Funktion Gg im Punkt Q(1|-3) eine Steigung von m=-1 hat, können wir den x-Wert des Punktes und den m-Wert (f´(x)), welcher durch die 1. Ableitung bestimmt wird, einsetzen.
Somit kommen wir auf die 2. Gleichung: -1 = f´(1) = 4*a*1^3 + 2*b*1
Diese beiden Gleichungen löst du nun in einem Gleichungssystem auf und hast somit deine Lösung.
Vielen lieben Dank! Durch die Erklärungen und den Ansatz bin ich auf das Ergebnis gekommen!! Ich danke dir so sehr!
"achsensymmetrisch zur Ordinatenachse (y-Achse)" bedeutet, es kommen nur gerade Exponenten vor, d. h. Deine Funktion hat schonmal die allgemeine Form:
f(x)=ax^4+bx²+c
D. h. es reichen 3 Eigenschaften (Gleichungen) um eine achsensymmetrische Funktion 4. Grades eindeutig bestimmen zu können:
Bekannt ist, dass die y-Achse bei y=-2 geschnitten wird, also f(0)=-2, d. h. c=-2.
Jetzt hast Du noch den Punkt (1|-3) gegeben, also f(1)=-3 und die Steigung dort, nämlich f'(1)=-1.
Mit diesen beiden Gleichungen kannst Du nun recht leicht a und b bestimmen.
Tipp:
Der Graph Gg der Ganz Rationale Funktion 4. Gerades verläuft achsensymetrisch zur Ordinatenachse
... das macht die Aufgabe wesentlich einfacher, denn die Funktion hat nur 3 statt 5 Parameter:
Bedingungen