Aufgabe zum Nachdenken?
Für eine Balkenwaage gibt es 8 Wägestücke, alle unterschiedlich schwer und jedes mit ganzzähliger Masse (in g). Werden 2 beliebige Wägestücke zusammen auf eine Waagschale gelegt und auf die andere Waagschale 2 beliebige der restlichen, so ist in jedem Fall die Seite die schwerere, auf der sich das schwerste der 4 Wägestücke befindet. Welche Masse hat das schwerste Wägestück mindestens?
A) 12 g
B) 34 g
C) 55 g
D) 128 g
E) 256 g
3 Antworten
Noch ein kleiner, aber interessanter Nachtrag: Die gefragte Zahl kann man auch ausrechnen:
Dafür bildest man die beiden Werte A=(1+Wurzel(5))/2 und B=(1-Wurzel(5))/2
(beides ziemlich krumme Werte: A ist z.B. 1,61803399)
Wenn man dann für N = Anzahl der (Wägestücke+1) einsetzt, kann man das Mindesgewicht G des größten Wägestückes ausrechnen mit:
G = ((A hoch N) - (B hoch N)) / (A - B)
Erstaunlicherweise ergeben sich dabei wieder Ganze Zahlen, für N=9 eben exakt 34 !
(Das ist jetzt aber nicht auf meinem Mist gewachsen, sondern vor 303 Jahren von einem klügeren Kopf herausgefunden worden ;-)
Gruß Jogi
"Mindestens" heisst soviel wie "auf keinen Fall weniger als". Und das schwerste Wägestück kann auf keinen Fall weniger als 34 Gramm haben, damit die Bedingungen der Aufgabe erfüllt werden. 12g wären aber weniger als diese 34g - und man kann einfach keine Lösung (siehe Anforderung in der Aufgabe) finden, wo 7 Gewichte alle leichter und eines gleich 12g schwer wären.
Lies Dir mal alle meine Kommentare zu den Rückfragen an verschiedenen Stellen und meine andere Antwort weiter unten durch; dann wirst Du es verstehen.
Wir nennen die Masse des schwersten Wägestückes in Gramm "x".
Wenn wir zum schwersten Wägestück das leichteste nehmen, ist es auf dieser Seite schwerer, die größere Masse zu erreichen als mit jedem anderen. Weil die Massen ganzzahlig sind, können wir für das leichteste Stück 1 g annehmen.
Damit gilt für alle Massen in Gramm der anderen Wägestücke "a" und "b":
x + 1 > a + b
Je kleiner die obere Grenze von a und b ist, desto kleiner kann x sein.
Wie groß müssen a und b also mindestens sein?
Wir haben neben dem schwersten Stück noch 7 weitere. Diese haben unterschiedliche ganzzahlige Massen. Da 0 und erst recht negative Massen keinen physikalischen Körper ermöglichen, ist die Obergrenze der übrigen Stücke am kleinsten, wenn sie von 1 beginnend aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind, also
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Am größten werden a und b, wenn wir die größten Werte hieraus nehmen, also 7 und 6.
Damit
x + 1 > 7 + 6
... passt aber nicht zu den Lösungsvorschlägen.
Ich hab auch was übersehen - kein Wunder um diese Zeit.
Die grundlegenden Überlegungen bleiben gültig, aber wir müssen mit 4 Wägestücken anfangen.
Damit:
x_4 + 1 > 3 + 2
x_4 = 3 + 2 - 1 + 1 = 5
Weiter:
x_5 + 1 > 5 + 3
etc.
Was leicht übersehen wird, war der Zusatz: "2 beliebige Wägestücke". Und bei Deiner Reihe 1...7 kann ich 4g+5g wählen und wäre damit schwerer als 7g + 1g - und die Bedingung, dass die Seite mit dem schwersten Stück (hier 7g) immer die schwerere sei, wäre nicht erfüllt - und damit kann(!) die Reihe 1...7 schon mal nicht funktionieren.
Nehmen wir an, die Antwort wäre A) 12 g
Dann müsste auf der Waage mindestens eine Masse von 12 g + 1 g = 13 g durch die anderen Gewichte kompensiert werden. Für diese stünden dann 2 g, 3 g, 4 g, 5 g, 6 g und 7 g minmal zur Auswahl. 2 beliebige Gewichte wären da 6 g und 7g. Das sind auch 13 g und damit ist die Forderung nach "auf jeden Fall schwerer" nicht erfüllt.
Allein dieser Sachverhalt von 13 zu 13 legt den Schluss nahe, dass bei jeder höheren möglichen Gesamtmasse die Forderung erfüllt sein muss. Und von den Alternativen ist natürlich 34 die kleinste.
Deine Idee: "Allein dieser Sachverhalt von 13 zu 13 legt den Schluss nahe, dass bei jeder höheren möglichen Gesamtmasse die Forderung erfüllt sein muss." entpuppt sich aber schlicht als Fehlschluß. Es gibt einfach keine(!) Lösung im Bereich von 13...33 ! Wenn Antwort B) also in diesem Bereich gelegen hätte, hättest Du falsch getippt, dann wäre es Antwort C) mit 34g gewesen ;-)
Aber warum soll man nicht auch mal Glück haben !
Es gibt einfach keine(!) Lösung im Bereich von 13...33 !
Sorry, das verstehe ich nicht. Angenommen das schwerste Gewicht sei 20 g. Das lege ich mit einem von 1 g auf eine Seite der Waage. Die anderen seien 2 g, 3 g, 4 g, 5g, 6 g und 7 g. Zwei beliebige daraus bringen maximal 13 g auf die Waage.
Folglich sind doch auch für diese Konstellation alle Bedingungen erfüllt. Oder habe ich etwas übersehen oder missverstanden?
Was leicht übersehen wird ist dieser Teil: "2 beliebige Wägestücke" sowohl auf der einen, als auch auf der anderen Seite. Und gemeinerweise kann ich mir bei 1...7g+20g nun auch 4g+5g für die linke Seite und 1g+7g für die rechte Seite auswählen - und dann ist die rechte Seite, die das größte (verwendete) Gewicht (hier 7g) enthält, eben nicht schwerer als die linke Seite mit zusammen 9g (=4g+5g).
Zugegeben: Ein Hauptproblem dieser Aufgabe besteht darin, die Angaben/Voraussetzung ganz exakt umzusetzen, also Wort für Wort. Das ist schon recht gemein ...
Wäre aber 12g nicht auch richtig weil da ja mindestens steht?