Kurze Matheaufgabe zum Nachdenken?
Die Summe zweier Zahlen ist 120. wie lauten diese beiden Zahlen, wenn das Produkt dieser möglichst groß sein soll?
7 Antworten
Offensichtlich 60.
Beweis: Sei x eine Zahl in [0,120]. Die zweite Zahl muss dann logischerweise z = 120-x sein.
Das Produkt lautet dann x*(120-x). Wir definieren uns eine Funktion...
mit x aus [0,120]. Diese Parabel ist nach unten offen. Wir wissen, dass der Scheitelpunkt (=Hochpunkt) der größte Wert ist. Dort ist die Parabel maximal.
Dieser Scheitelpunkt/Hochpunkt ist zwischen den Nullstellen. Also zwischen 0 und 120.
Darum ist der Maximalwert bei x = z = 60.
Hier ein Ausschnitt der Funktion...
x = 120 / 2
x = 60
das Produkt beider angenommenen Zahlen kann als (x - a) * (x + a) dargestellt werden, also x^2 - a^2. Das ist am größten, wenn a = 0.
Bede Zahlen sind 60.
Gesucht sind natürliche Zahlen m, n sodass das Produkt m*n unter der Nebenbedingung m+n=120 maximal wird. D.h. du bist interessiert an
Betrachten wir eine Relaxation dieses Problems und lassen reelle Zahlen als Lösung zu. Da die Funktion
konkav ist, wird das Maximum in genau dem Punkt angenommen, in welchem die erste Ableitung verschwindet, also muss
gelten für die Stelle x_0, an der die Funktion maximal wird. Umstellen liefert x_0 = 60. Da diese Lösung ganzzahlig ist, löst x_0 auch unser nicht-relaxiertes Problem. D.h die Lösung lautet
Ich finde den Formeleditor dieser Website fürchterlich.
Summe: a + b = 120
Produkt: P = a • b = a • (120 - a)
P' = (120 - a) - a = 0
a = 120/2 = 60 = b
Ich tippe mal auf 60 und 60.
Weil wenn ich mit dem Nenner oder dem Zähler höher gehe muss sich die andere Zahl verringer, war bei einer Multiplikation schlecht ist.