Mathehausaufgabe hilfe schnell?
Auf einem Tisch stehen eine Balkenwaage mit zwei Waagschalen und Ein satz Wägestücke. Dieser besteht aus je einem Wägestück der Masse 1 g, 2g, 4g,8g, 16 g, 64 g, 128 g, 256 g, 512 g, 1024 g, und 2048 g. Auf die linke Waagschale wird ein Eisenblock mit einer Masse von 1111 g gelegt. Es wird ein geeignetes Wägestück derart ausgewählt, dass durch das geeignete verteilen dieses Wägestück und aller leichteren aus dem wägesatz auf die beiden Wäge Schalen Gleichgewicht hergestellt wird . Begründe, dass die Werkstücke wie beschrieben auf die beiden Waagschalen aufgeteilt werden können und das dann das 16 Gramm Stück unabhängig von der konkreten Aufteilung steht's in der gleichen war gerade liegt.
Hinweis: bei einer Balkenwaage mit zwei Waagschalen herrscht genau dann Gleichgewicht, wenn auf beiden Waagschalen die gleiche Masse liegt.
Danke im Vorraus.
3 Antworten
Wegen
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 64 + 128 + 256 + 512 = 991 < 1111
reicht es nicht das 512 g-Stück und alle leichteren zu wählen. Damit verbleiben zwei Fälle ...
1. Fall: Es werden das 1024 g-Stück und alle leichteren Wägestücke ausgewählt, aber nicht das 2048 g-Stück.
2. Fall: Es werden das 1024 g-Stück und alle leichteren Wägestücke ausgewählt.
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Im 1. Fall ...
Insgesamt hat man zusammen mit dem 1111 g-Block wegen ...
1111 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 = 3126
... eine Masse von 3126 g zu verteilen. Da die Waage am Ende im Gleichgewicht sein soll, muss wegen ...
3126/2 = 1563
... am Ende auf jeder Seite eine Masse von 1563 g liegen. Rechts muss man also 1563 g hinzufügen. Auf der linken Seite fehlen wegen ...
1563 - 1111 = 452
... noch 452 g.
Da man nur verschiedene Wägestücke zur Verfügung hat, deren Grammzahlen Zweierpotenzen sind, bietet es sich an, die jeweils eindeutige 2-adische Darstellung der Zahlen 1536 bzw. 452 zu ermitteln.
1563 | 1
781 | 1
390 | 0
195 | 1
97 | 1
48 | 0
24 | 0
12 | 0
6 | 0
3 | 1
1 | 1
Die Binärdarstellung von 1563 ist 11000011011.
452 | 0
226 | 0
113 | 1
56 | 0
28 | 0
14 | 0
7 | 1
3 | 1
1 | 1
Die Binärdarstellung von 452 ist 111000100.
Damit erhält man:
1563 = 2^10 + 2^9 + 2^4 + 2^3 + 2^1 + 2^0 = 1024 + 512 + 16 + 8 + 2 + 1
452 = 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^2 = 256 + 128 + 64 + 4
Demnach muss man neben dem 1111 g-Block dann auf der linken Seite die folgenden Wägestücke hinzufügen:
4 g, 64 g, 128 g, 256 g
Auf der rechten Seite muss man die folgenden Wägestücke hinzufügen:
1 g, 2 g, 8 g, 16 g, 512 g, 1024 g
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Im 2. Fall ...
Insgesamt hat man zusammen mit dem 1111 g-Block wegen ...
1111 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 = 5174
... eine Masse von 5174 g zu verteilen. Da die Waage am Ende im Gleichgewicht sein soll, muss wegen ...
5174/2 = 2587
... am Ende auf jeder Seite eine Masse von 2587 g liegen. Rechts muss man also 2587 g hinzufügen. Auf der linken Seite fehlen wegen ...
2587 - 1111 = 1476
... noch 1476 g.
Da man nur verschiedene Wägestücke zur Verfügung hat, deren Grammzahlen Zweierpotenzen sind, bietet es sich an, die jeweils eindeutige 2-adische Darstellung der Zahlen 2587 bzw. 1476 zu ermitteln.
2587 | 1
1293 | 1
646 | 0
323 | 1
161 | 1
80 | 0
40 | 0
20 | 0
10 | 0
5 | 1
2 | 0
1 | 1
Die Binärdarstellung von 2587 ist 101000011011.
1476 | 0
738 | 0
369 | 1
184 | 0
92 | 0
46 | 0
23 | 1
11 | 1
5 | 1
2 | 0
1 | 1
Die Binärdarstellung von 1476 ist 10111000100.
Damit erhält man:
2587 = 2^11 + 2^9 + 2^4 + 2^3 + 2^1 + 2^0 = 2048 + 512 + 16 + 8 + 2 + 1
1476 = 2^10 + 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^2 = 1024 + 256 + 128 + 64 + 4
Demnach muss man neben dem 1111 g-Block dann auf der linken Seite die folgenden Wägestücke hinzufügen:
4 g, 64 g, 128 g, 256 g, 1024 g
Auf der rechten Seite muss man die folgenden Wägestücke hinzufügen:
1 g, 2 g, 8 g, 16 g, 512 g, 2048 g
==========
Man sieht, dass man in jedem der beiden möglichen Fälle das 16 g-Wägestück auf die rechte Seite legen muss. [Die Eindeutigkeit folgt im wesentlichen aus der Eindeutigkeit der 2-adischen Darstellung der Zahlen in den einzelnen Fällen.]
- da fehlt Kinder Aufgabenstellung ein 32-g Stück
- "2. Fall: Es werden das 1024 g-Stück und alle leichteren Wägestücke ausgewählt." Muss es nicht 2048g-Stück heißen?
- Naja, es könnte sein, dass es beabsichtigt ist, dass das 32 g Stück fehlt. Wüsste aber jetzt keinen sinnvollen Grund, warum das der Aufgabensteller weggelassen hat. Es könnte natürlich auch sein, dass das unbeabsichtigt vergessen wurde, da der Satz an Wägestücken ohne das 32 g Stück ja unvollständig ist. (Mit dem 32 g Stück läuft der Lösungsweg analog problemlos durch.)
- Ja, danke. Da sollte an der entsprechenden Stelle tatsächlich 2048 statt 1024 stehen.
sehr hilfreich! wie lange hast denn dafür gebraucht? das ist ja perfekt.
Man sieht hier eine "geometrische Folge" mit q=an+1/an=2g/1g=2=konstant
Summe ist dann S=a1*(q^(n+1) - 1)/(q-1) mit n=11
S(11)=1g*(2^(11+1) - 1)/(2-1)=4099 g Masse aller Gewichte.
1111g+S1=mx+S2
Mehr weiß ich auch nicht.
Was nun mit der Aufgabe genau gemeint ist,weiß ich nicht.
ist nun mx=2048 g ,dann sind alle anderen Gewichte kleiner.
16 g soll wohl zu S1 ode S2 gehören und diesen sollen wohl vertauscht werden.
Frag mal den Packer,was da genau gemeint ist und investiere nicht unnötig Stunden in diese Aufgabe ohne das ein Ergebnis zustande kommt.
Erst einmal ist 1g*(2^(11+1) - 1)/(2-1) nicht 4099 g, sondern 4095 g.
Dann ist das auch nicht die Gesamtmasse der Wägestücke, da man kein 32 g Stück hat.
Was du mit mx, S1 und S2 meinst, ist mir nicht klar.
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Die Aufgabenstellung ist meiner Ansicht nach klar formuliert. Ich kann aber versuchen, dir das nochmal zu erklären:
Wenn man beispielsweise das 8 g Stück wählt, so muss man auch alle leichteren Stücke wählen, also auch das 1 g Stück und das 2 g Stück und das 4 g Stück. Die gewählten Stücke muss man dann auf die Waagschalen verteilen, so dass die Waage ins Gleichgewicht kommt. Man könnte nun beispielsweise versuchen, das 1 g Stück und das 4 g Stück nach links zu den 1111 g zu legen, und das 2 g Stück und das 8 g Stück auf die rechte Seite zu legen. Die Waage wäre in diesem Fall nicht im Gleichgewicht, da
1111 g + 1 g + 4 g > 2 g + 8 g
ist. Das wäre also keine passende Verteilung.
Man soll nun zeigen, dass man entsprechend Wägstücke wählen und verteilen kann, so dass die Waage ins Gleichgewicht kommt. Beispielsweise könnte man das 1024 g Stück und alle leichteren wählen, und diese dann folgendermaßen verteilen:
1111 g + 4 g + 64 g + 128 g + 256 g = 1 g + 2 g + 8 g + 16 g + 512 g + 1024 g
Fehlt da nicht das 32- gStück?