Anzahl der Wendepunkte begründen
ich habe diese gleichung gegeben:
f(x)= x^4 - 8x^3 + 21x^2 -20x +4
habe mit der zweiten ableitung die wendepunkte WP(2,707/-1,25) und WP(1,293/-1,25) errechnet. also 2 wendepunkte. wie begründe ich, dass es eben genau 2 wendepunkte sind?
4 Antworten
Kurvendiskussion ( KD ) ist mein Hobby; deshalb mach ich sie dir ja gerne. Wie du weißt, beginnen wir immer mit den Nullstellen.
y = f ( x ) := x ^ 4 - 8 x ³ + 21 x ² - 20 x + 4 ( 1 )
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^4+-+8x^3+%2B+21x^2+-20x+%2B4
Ja ich weiß ich bin feige. Ich hab sie erst mal Wolfram übergeben. Das enthebt dich aber keiner eigenen Anstrengung, im Gegenteil. Dem Forum ===> Lycos weine ich noch heute manche Träne nach. Nach meiner 4 711. Sperrung bin ich endgültig draußen. Was bei denen eindeutig besser war; die unmittelbare Rückmeldung von den Fragestellern. ( Hier wenn du mir eine Mitteilung zukommen lassen willst. Bitte etwas, was online ganz dick blinkt und wo ich nur noch drauf klicken muss; alles andere übersehe ich. ) Und von der Publikumsbefragung bekam ich eben ganz schnell mit, dass die kein einziges Wort von mir verstanden. Hände ringend versuchte ich denen also zu vermitteln, dass Polynome Symmetrien aufweisen ( können ) Und dass das evtl. wichtig sein könnte. Und die waren jetzt von ihrem Schrat voll darauf abonniert, Nullstellen zu RATEN , sei das ultimativ höchste der Gefühle. Also schön; lassen wir uns von Wolfram überraschen. In aufsteigender Reihenfolge sortiert, spuckt Wolfram die folgenden 4 Knoten aus, die ich als ( endliche ) ===> Folge notiere ( Waren Folgen schon dran? )
x < n > = < 2 - sqr ( 3 ) , 2 , 2 , 2 + sqr ( 3 ) > ; n = 1 , ... , 4 ( 2a )
( Die Nullstelle in x = 2 zählt doppelt; hier berührt der Graf und schneidet nicht nur; s.u. )
" Was sagt uns das? Nix. Und was haben wir davon? Wieder nix ... "
Netter Kalauer; aber jetzt geht's echt ans Eingemachte. Ein gerades Polynom ( hier: 4. Grades ) KANN Achsensymmetrie aufweisen, muss aber nicht. Hier nun gilt es nachdrücklich einem geistigen Kurzschluss entgegen zu treten, den euch eure Lehrer in den Kopf gesetzt haben. Du glaubst vielleicht, wenn gerade und ungerade Exponenten gemischt vorkommen so wie hier, sei das schon hinreichend für " keine Symmetrie " Wer sagt dir denn, dass die Symmetrieachse ausgerechnet bei x = 0 verläuft ? Aus dem Studium Zahl reicher Internetforen gewann ich viel mehr den Eindruck, dass du einer Gleichung wie ( 1 ) explizit keine Info entnehmen kannst; ja mein eigener Kenntnisstand auf dem Gebiet reicht weiter als jene Foren. Gleich das Erste, worauf ich stieß. Aus Folge ( 2a ) kannst du dir eine notwendige und hinreichende Bedingung für Symmetrie schnitzen; bilde bitte die ===> Differenzenfolge von ( 2a )
d < n > = < sqr ( 3 ) ; 0 ; sqr ( 3 ) > ; n = 1 , 2 , 3 ( 2b )
Rein für die Anzahl der Elemente in ( 2b ) ist schon wichtig, dass x2 in ( 2a ) doppelt gezählt wurde; sonst käme es ja falsch heraus. Symmetrie liegt vor dann und nur dann, wenn ( 2b ) Spiegel symmetrisch ist gegen das mittelste Elememt d2 - also ja. Bitte versteh mich richtig; du kannst ja schon mal ins Unreine denken, welche Eigenschaften ein Polynom 4. Grades hat, in dem nur gerade Exponenten vorkommen. Das Dingsbums ist halt nur in x-Richtung verschoben; und das Symmetriezentrum xs gilt es zu ermitteln. In ( 2a ) gilt die Beziehung
xs = 1/4 ( x1 + x2 + x3 + x4 ) = ( 3a )
= 1/2 ( x1 + x4 ) = 1/2 ( x2 + x3 ) = 2 ( 3b )
Und jetzt hast du mich glaub ich erstmals verstanden.
" Können wir das auch ohne Wolfram? Und gibt es einen Algoritmus, xs zu errechnen, OHNE AUCH NUR ZU WISSEN, ob ( 1 ) überhaupt Nullstellen hat? ( Warum sind reelle Wurzeln nicht zwingend? ) " Was ich hierzu in den Übungsforen des Internet fand, war echt Haar sträubend. Meine Empfehlung: Aktiviere doch mal deine Kenntnisse über die ===> Taylorentwicklung; dann merkst du quasi sofort, was hier abgeht. Wenn wir ( 1 ) um den beliebigen Punkt x0 entwickeln
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + ( 1/2 ) h ² f " ( x0 ) + ( 1/3 ! ) h ³ f(³) ( x0 ) + h ^ 4 ( 4a )
h := x - x0 ( 4b )
Der Term 4. Ordnung, " h hoch 4 " , geht mit Koeffizient Eins ein - unabhängig von der Wahl von x0. Deshalb werden wir Glieder mit gerader Symmetrie niemals aus dem Polynom eliminieren. Jetzt folge mal meinem Gedankengang. Die 3. Ableitung eines Polynoms vom 4. Grade ist selbst vom ersten Grade; und lineare Gleichungen können wir ja lösen. Es gibt ein und nur ein x0 , welches dadurch ausgezeichnet ist, dass
f(³) ( x0 ) = 0 ( 4c )
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + ( 1/2 ) h ² f " ( x0 ) + h ^ 4 ( 4d )
Jetzt sind wir schon am Anschlag; mehr Freiheitsgrade sind ja nicht mehr. Wir können nur noch beten, dass uns die erste Ableitung eben Falls den Gefallen tun möge zu verschwinden:
f ' ( x0 ) = 0 ( 4e )
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + ( 1/2 ) h ² f " ( x0 ) + h ^ 4 ( 4f )
Klar, was ich mit ( 4f ) erreiche? Eine echte Knochenmühle harrt unser; Polynom ( 1 ) um x0 in ( 4c ) in eine Taylorreihe entwickeln - Schreck lass nach. Erst mal die ganzen Ableitungen:
Auch so ein Fehler im Vergleich zu Lycos, dass hier keine Ergänzungen zugelassen sind; nur Kommentare. also die ganzen Ableitungen:
f ' ( x ) = 2 ( 2 x ³ - 12 x ² + 21 x - 10 ) ( 2.1a )
1/2 f " ( x ) = 3 ( 2 x ² - 8 x + 7 ) ( 2.1b )
( 1/3 ! ) f(³) ( x0 ) = 4 ( x - 2 ) ===> x0 = 2 ( 2.1c )
Einsetzen von x0 in ( 1.1; 2.1ab ) mittels Hornerschema im Kopf. Bei Lycos können das alle; na kannste mal sehen, wie fantastisch da die Rückmeldung funktioniert:
f ( x0 ) = f ' ( x0 ) = 0 ( 2.2a )
1/2 f " ( x0 ) = ( - 3 ) ( 2.2b )
f ( h ) = h ^ 4 - 3 h ² ( 2.2c )
Eine KD von ( 2.2c ) findet nicht statt. Denn im Gegentum zu euren Lehrern habe ich ja meine Hausaufgaben gemacht. ( 2.2c ) ist eine biquadratische Funktion ( BQF ) ; und für die selbe habe ich eine Kategorienlehre entwickelt. Diktat für Spickzettel, Regelheft und Formelsammlung.
Die BQF wird in der Normalform angegeben
f ( h ) = h ^ 4 - p h ² + q ( 2.3a )
Dabei ist p der alles entscheidende Parameter, der über die ===> Topologie der Kurve befindet. Für p < 0 hast du V-Form analog Parabel mit dem ( absoluten ) Minimum bei h = 0 und
f ( min ) = q ( 2.3b )
Für p > 0 ergibt sich W-Form ( siehe Wolfram; unser Fall war ja p = 3 ) Dann entspricht ( 2.3b ) der mittleren Spitze des W , einem ( lokalen ) Maximum. Die ( absoluten ) Minima entsprechen jetzt den beiden seitlichen Spitzen des W ; diese liegen bei
h1;2 ( min ) = -/+ sqr ( p/2 ) ( 2.3c )
f ( min ) = q - ( p/2 ) ² ( 2.3d )
Und zu den WP besteht eine feste Wurzel-3-Beziehung:
h ( min ) = h ( w ) sqr ( 3 ) ( 2.3e )
Kann ich es noch Mund gerechter präsentieren?
Es gibt eine "Regel":
Der höchste Exponent in deiner ganzrationalen Funktion gibt eine Aussage über die bestimmten Punkte:
- Nullstellen kann es maximal so viele geben, so groß der höchste Exponent ist. Heißt: Bei x^4 kann es also maximal 4 Nullstellen geben.
- Extrempunkte kann es maximal so viele geben, so groß der höchste Exponent minus 1 ist. Heißt: Bei x^4 kann es also maximal 3 Extrema geben.
- Wendepunkte kann es maximal so viele geben, so groß der höchste Exponent minus 2 ist. Heißt: Bei x^4 kann es also maximal 2 Wendepunkte geben.
Die Regeln kann man sich von den verschiedenen Ableitungen ableiten. :-)
Eine ganzrationale Funktion Kann höchstens 2 Wendepunkte haben.
2 Stellen an denen f '' (x) =0 ist hast du schon
Jetzt musst du noch überprüfen ob f ' (x) ≠ 0 ist.
Wenn ja hast du einen Wendepunkt sonst ist es ein Sattelpunkt
Du prüfst, ob die nächste Ableitung an genau den Stellen ≠ 0 ist.