Ableitung von ln((1+x)/(1-x))?
Hallo,
kann mir einer bitte sagen,was die ersten drei Ableitungen sind und wie man darauf kommt.Ich wollte nämlich eigentlich mit der quotientenregel anfangen.Als ich es dann aber bei geogebra eingegeben habe,kam etwas raus,was nicht durch die quotientenregel rausgekommen sein kann.
Danke im Voraus;)
3 Antworten
f(x)=ln(x) => f'(x)=1/x (also Kehrwert der Klammer)
=> f(x)=ln((1+x)/(1-x)) => f'(x)=(1-x)/(1+x) * innere Ableitung
Innere Ableitung mit Quotientenregel, dann sollte das Richtige rauskommen.
Hier muss die Kettenregel und die Quotientenregel angewendet werden.
Siehe Mathe-Formelbuch "Differentationsregeln",was du in jeden Buchladen privat bekommst z.Bsp. den "Kuchling"
y=f(x) = ln( z) mit z=(1+x) /(1-x) Quotientenregel (u/v)´= (u´*v - u *v´) / v^2
f´(x)=y´=dy/dx=dy/dz *dz/dx dies ist die kettenregel
y=ln(z) ergibt y´= 1/z siehe elementare Ableitungen im Mathe-Formelbuch
z=(1+x) / (1-x) mit u=1+x ergibt u´=1 und v=1-x ergibt v´= - 1 eingesetzt
(u/v)´=z´=dz/dx= 1 *(1-x) - (1+x) * - 1 / (1-x)^2= 2 / (1-x)^2
f´(x)=y´= 1/z * 2/ (1-x)^2= (1-x) / (1+x) * 2 / (1-x)^2=2/ (1+x) *(1-x)
binomische Formel a^2 -b^2 =(a+b) *(a-b) angewendet
f´(x)= y´= 2/ (1 -x^2 )
prüfe auf Rechenfehler !!
f´(x) = 2 / (1 - x²) = - 2 / (x² - 1) ist richtig. Dann ist f´´(x) = 4x / (x² - 1)²
Danke.Das,was du da raus hast,ist fast so wie das,was geogebra raus hat.Geogebra hat noch ein minus vor dem bruch.
f(x) = ln(x+1)/(x+1).
a = ln(x+1) b = 1/(x+1)
Jetzt gilt ja für die Ableitung a´*b + a*b´ (Produktregel.)
a´ = 1/(x+1), denn die Ableitung des Natürlichen Logarithmus´ ist 1 durch das was im Logarithmus steht, mal die Ableitung des Ausdrucks im Logarthmus (welche hier 1 ist, weswegen ich sie nicht extra noch als Faktor dazuschreibe.)
b´ ist nichts anderes als (-1)/(x+1)², denn b = 1/(x+1) = (x+1)^(-1). Jetzt gilt hier auch wieder innere Ableitung, welche ja immer noch 1 ist, mal äußere Ableitung. Für die äußere Ableitung tun wir einfach so, als wenn die x+1 in der Klammer einfach nur ein gewöhnliches x wären, weswegen wir einfach sagen, dass die äußere Funktion K^(-1) ist. Das abgeleitet ist (-1)*K^(-2) = (-1)/K². Jetzt setzen wir für unser gedachtes K wieder unser x+1 ein, und erhalten (-1)/(x+1)² als äußere Ableitung.
b´ ist somit 1*(-1)/(x+1)² = (-1)/x².
Jetzt sagt ja unsere Produktregel von oben das f´(x) = a´*b + a*b´ ist.
Das ist f´(x) nichts anderes als 1/(x+1) * 1/(x+1) + ln(x+1)*(-1)/(x+1)² = 1/(x+1)² - ln(x+1)/(x+1)² = (1-ln(x+1))/(x+1)²