9.99999...=10?
Ist es richtig, diese Annahme als geometrische Reihe mit
x=9*Summe von n=0-∞ von (1/10)^n
aufzufassen und so zu beweisen?
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/NeilderMensch/1697113283484_nmmslarge__103_43_313_313_6b3690813225f6821e14b36b00b023cf.png?v=1697113284000)
Das geht:
Die geometrische Reihe
konvergiert für alle x - wenn |x| < 1 - gegen Wenn du x = 1/10 setzt, kommt 1/0,9 = 1,111... raus. Das mal 9 ist 9,999.
Und wenn du mal 9 rechnest, kannst du bei einer Summe immer das innere mal 9 rechnen. Also:
= 1/(1-9/10) = 1/(1/10) = 10
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Das ist äquivalent.
Es sieht zwar anders aus, aber wenn man dann den genauen Grenzwert mit 1/(1-x) bestimmt, kommt das gleiche raus.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/LoverOfPi/1665602862647_nmmslarge__99_99_596_596_3ac0571aff2c33dd00487dbee63be237.jpg?v=1665602863000)
Das stimmt schon, im unendlichen sind sie gleich. Aber das eine stellt ja nicht 9.9999999.. dar. Einfach eine Reihe, die gegen 10 konvergiert.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/NeilderMensch/1697113283484_nmmslarge__103_43_313_313_6b3690813225f6821e14b36b00b023cf.png?v=1697113284000)
Also mit der Reihe meinte ich, dass sie 9,999... approximiert, und dadurch gegen 10 konvergiert, und das ein Beweis ist, dass 9,999... = 10.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/ChrisGE1267/1713780995668_nmmslarge__399_0_2521_2521_09c67a06d645267d51c3bed5e5ce7406.jpg?v=1713780996000)
Das kann man so machen…
Was ich mich aber nun Frage: Nach deinem Modell wäre die Reihe doch 1/1+9/10+81/100+... Ist das wirklich äquivalent zu 9+9/10+9/100+9/1000+...
Natürlich konvergiert die Reihe gegen das Gleiche, allerdings sieht sie doch ein bisschen anders aus. Deshalb schrieb ich die 9 als Faktor davor.