3=15*(e^(-0,2t)-e^(-0,8t))?
Wie rechnet man Gleichungen wie diese?
Einem Patienten wird zur Behandlung einer Krankheit ein Medikament verabreicht. Die Konzentration des Medikaments im Blut in Abhängigkeit von der Zeit lässt sich durch folgende Funktion beschreiben:
y=15*(e^(-0,2t)-e^(-0,8t))
Ermittle nach welcher Zeit die Konzentration (y) auf 3 gesunken ist
In welchen Zusammenhang? Nur reelle Lösungen oder auch komplexe Lösungen?
Es geht um Kurvendiskussion. Konzentration im Blut des Wirkstoffes. Wann die Konzentration wieder 3 beträgt
2 Antworten
1 / 5 = e^(-0,2 * t) - e^(-0,2 * t * 4)
Substitution: z = e^-0,2 * t
1 / 5 = z - z^4
z - z^4 - (1 / 5) = 0
z_1 = 0,201654...
z_2 = 0,921699...
Rücksubstitution: t = ln(z) / -0,2
t_1 = 8,006009...
t_2 = 0,4076828...
Als Lösung kommt nur der größere Wert, also t_1 in Frage, da die Konzentration zunächst ansteigt und später abfällt.
Für Gleichungen 4. Grades gibt es aufwendige Lösungsverfahren, siehe z.B. : https://imsc.uni-graz.at/baur/lehre/SS2013-LAK-Seminar/V1.pdf, oder alternativ Näherungsverfahren wie z.B. das Newtonverfahren (einfacher zu handhaben)...
x_n+1 = x_n - (f(x_n) / f'(x_n)) mit x_n = Startwert
oder Online-Rechner (in der Praxis zu empfehlen).
Ich habe 3 Lösungsmöglichkeiten aufgezeigt und die Lösung geliefert. Wer das im Detail berechnen und darstellen möchte, kann das gerne tun.
Ermittle nach welcher Zeit die Konzentration (y) auf 3 gesunken ist
"Ermittle" bedeutet, man soll die Lösung finden ohne dass der Lösungsweg dazu vorgeschrieben ist. Anders wären es, wenn da stehen würde "berechne". dann ist definitv eine analytische (rechnerische) Lösung gefragt. Da der Lösungsweg freigestellt ist, wähle ich eine grafische Lösung mit Hilfe eines Funktionenplotters:
Lösung: t = 8 h
Mit größerer Auflösung kann man t auch genauer bestimmen:
Lösung: t = 8,006 h
Retter😃