(-1)^n ist nicht konvergent, beweis mit dreiecksungleichung?
Hallo, ich komme überhaupt nicht weiter:
ich möchte das beweisen.
ich habe |(-1)^n -a| ≤ 1+|a|, mithilfe der Dreiecksungleichung erhalten wie kann ich das zum widerspruch mit der annahme ε>0 und |(-1)^n -a|<ε führen.
Ich bin neu, und habe keine Ahnung wie ich weitermachen kann und den Beweis vollenden kann. ich weiß es gibt andere Möglichkeiten, aber ich möchte wissen, ob ich damit was anfangen kann.
kann man jetzt einfach sagen 1 +|a| ist kleiner ε??
Kann ich jetzt einfach sagen 1+|a|<ε?
2 Antworten
öhm... für epsilon gleich 0,1 brauchst du keine Dreiecksungleichung, um zu sehen, dass es kein n0 gibt, für das |a_n-a|<epsilon ist... der Abstand von a_n zu a ist |-1-a| und |1-a|...
- nehmen wir an, dass a<=-1 ist...dann haben wir (-1-a) und (1-a)>=1>epsilon
- nehmen wir an, dass a>-1 und a<=0 ist... dann haben wir (1+a) und (1-a)>=1>epsilon
- nehmen wir an, dass a>0 und a<=1 ist... dann haben wir (1+a)>=1>epsilon und (1-a)
- nehmen wir an, dass a>1 ist... dann haben wir (1+a)>=1>epsilon und (a-1)
oder?
für epsilon=1000 und a=1 wäre das ja falsch... aus a<b und a<c folgt nichts über das Verhältnis von b und c zueinander.... oder?
ich bin so verwirrt, ich meine da a<=b und da a<c wenn man auf einer seite a abzieht, und auf der anderen c, dann würde sich die ungleichung nicht verändern
aber vielleicht bin ich doch einfach nur dumm
nimm doch einfach Zahlenbeispiele...
1<=2
1<1000
aber:
1-1>2-1000
oder?
eigentlich kenne ich nur „Gleichungen addieren/subtrahieren“... aber nich mit Ungleichungen... da musst du auf beiden Seiten das gleiche machen... Ausnahme: wenn das Vorzeichen sich umdreht, dann auch das Ungleichungszeichen...
du könntest aber eine Gleichung von einer Ungleichung abziehen... oder?
ich mein: wenn das Vorzeichen sich durch Multiplikation oder Division umdreht... dann auch das Ungleichungszeichen....
dann erhalte ich äquivalnt epsilon >= 1+|a|? oder geht das überhaupt nicht
also ich würd sagen, dass du ohne konkretes epsilon und a nichts dazu sagen kannst...
Du wendest die Ungleichung in die falsche Richtung an. Denn du sollst ja beweisen dass es ein epsilon und unendlich viele n gibt, für das |a_n - a| > epsilon bleibt, egal wie a vorgegeben wird. Die Dreiecksungleichung hilft dir da nicht wirklich. Wähle epsilon = |(a-1)/4|, das sollte funktionieren. Ausprobieren werde ich das nicht.
wieso ist das die falsche Richtung, das ist die Definition einer Nullfolge, wenn an den grenzwert a hat, dann ist |a_n - a| eine nullfolge, also kleiner epsilon
ich möchte das ja zum widerspruch führen
Jep. Und das ist auch richtig wenn du Konvergenz beweisen willst. Du sollst aber hier Divergenz beweisen. Da ist der Ansatz nun mal anders herum. Offensichtlich fehlt dir noch ein wenig Übung wie das mit den Grenzwerten so funktioniert.
Eine andere Frage:
ich habe
|(-1)^n -a| ≤ 1+|a| kann ich von der die Annahme
|(-1)^n -a|< epsilon einfach subtrahieren?
(da sich die ungleichung nicht ändert)
dann erhalte ich äquivalnt epsilon ≤ 1+|a| man wählt epsilon = 0,5 also ein widerspruch
da |a| größer gleich 0
Eine andere Frage:
ich habe
|(-1)^n -a| ≤ 1+|a| kann ich von der die Annahme
|(-1)^n -a|< epsilon einfach subtrahieren?
(da sich die ungleichung nicht ändert)
dann erhalte ich äquivalnt epsilon ≤ 1+|a| man wählt epsilon = 0,5 also ein widerspruch
da |a| größer gleich 0
Du versuchst krampfhaft einen Widerspruchsbeweis zu konstruieren, obwohl der direkte Weg günstiger ist. Beim Auflösen von Betragsgleichungen kann man sich leicht verlaufen. Deshalb habe ich auch geschrieben "Ausprobieren werde ich das nicht".
Das habe ich nicht geschrieben, ich habe gesagt ich probiere das nicht aus.
ok, dann hättest du gleich deine Antowort lassen könnnen.
Meine Frage war nicht, dass du das für mich die Aufgabe löst sondern
ob ich von a≤b die annahme a<c subtrahieren kann, sodass ich b ≤ c erhalte, einen widerspruch. Dafür muss man nichts probieren.
aber danke
Ich habe dir eine direkte Beweisidee aufgeschrieben, @Lukeears hat eine weitere aufgeschrieben. Wenn das nicht hilfreich ist, ok.
eine andere Frage:
ich habe
|(-1)^n -a| ≤ 1+|a| kann ich von der die Annahme
|(-1)^n -a|< epsilon einfach subtrahieren?
(da sich die ungleichung nicht ändert)
dann erhalte ich äquivalnt epsilon ≤ 1+|a| man wählt epsilon = 0,5 also ein widerspruch
da |a| größer gleich 0