Aufgabe 6:
a) Der Draht ist 18cm lang. Die eine Seite des Rechtecks hat die Seitenlänge x. Die andere Seite nenne ich nun y. Es muss folgende Bedingung gelten:

gleichzeitig gibt die Aufgabe einen Flächeninhalt von 4,25cm² an. Das heißt die zweite Bedingung lautet:

 Das lässt sich nun in die erste Gleichung einsetzen.

 Das bedeutet für diese x-Werte ist der Flächeninhalt genau 4,25cm²

b) Ähnlicher Ansatz wie bei a)

Bedingung (1) gilt unverändert. Die zweite Bedingung lautet:

 Aus Bedingung (1) lässt sich folgendes umformen:

 Einsetzen in andere Bedingung:

 Nullstellen:

 Punktprobe mit einem Wert zwischen 1,5 und 7,5 ergibt, dass dort der Flächeninhalt größer 11,25cm² ist.

c)

Formel für den Flächeninhalt wie gehabt.

Bedingung 1 einsetzen:



Maximum bei Nullstelle der Ableitung:

 Maximaler Flächeninhalt für x=4,5cm

Aufgabe 8:

Fläche des Rechtecks: 

Flächeninhalt der Dreiecke in den Ecken:

Große Dreiecke unten links und oben rechts





Die anderen beiden analog: Damit ist die Fläche des Parallelogramms:

 Davon nun das Minimum suchen.

Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor, der orthogonal zu AC und BD ist. Gesucht ist allerdings der Schnittpunkt der beiden Diagonalen. Dieser wird nicht über das Kreuzprodukt bestimmt.

Denkbar wäre auf Punkt A die Hälfte des Vektors AC anzuwenden, um den Schnittpunkt der beiden Diagonalen zu erhalten.

Das ergibt den Punkt: M(1,5|-1,5|0)

Zusammen mit dem Richtungsvektor A ergibt sich dann h.

Gesucht ist das Minimum der Funktion K.

Ein Minimum ist eine Extremstelle. Diese findet man, in dem man die Nullstellen der Ableitung bestimmt.



das ist genau dann der Fall, wenn der Zähler gleich 0 ist.



Dabei bleibt als einzige logische Lösung x2.

Als hinreichende Bedingung gilt es nun noch die zweite Ableitung an der Stelle  zu bestimmen.

Den Flächeninhalt erhältst du in dem du die Fläche der beiden Halbkreise von der Fläche des Quadrates abziehst.



Du kannst dir das ganze wie folgt vorstellen. Wenn du die Klammer mit der 3 multiplizierst, dann wandert die 3 in die Klammer hinein. Du multiplizierst jeden Summanden in der Klammer mit 3. Dabei bleibt das Minus allerdings vor der Klammer stehen. Dann musst du also noch die Minusklammer beachten, was dich zum richtigen Ergebnis führt.



Bei Brüchen kannst du dir eigentlich immer vorstellen, dass sowohl Zähler als auch Nenner eingeklammert sind. Statt einer Klammer zeigt der Bruchstrich in diesem Fall die Zusammengehörigkeit an.

Es kommt natürlich auf die Häufigkeit der Auszahlung an, aber wenn man davon ausgeht, dass die Zinsen ständig ausbezahlt werden, dann wäre die Rechnung folgendermaßen:


Das ist so nicht richtig. Die Argumentation könnte über den Energieerhaltungssatz erfolgen. Dieser besagt kurzgesagt, dass die Energie in einem System nicht vernichtet werden kann, sondern nur umgewandelt wird.

Überlegen wir uns nun, dass zwei Autos mit 30km/h gegeneinander fahren.

Die Energie, die nun in die Verformung der beiden Autos wirkt lässt sich wie folgt berechnen.

Fall 1: Die Autos fahren mit einer Geschwindigkeit v = 30 km/h gegeneinander, die kinetische Energie wird annähernd vollständig in Verformungsenergie umgewandelt. Es wird also jeweils der kinetische Energiebetrag der beiden Autos addiert.

Fährt nun nur ein einzelnes Auto gegen eine Wand, hat dabei aber die Geschwindigkeit 2*v = 2 * 30 km/h = 60 km/h, so sieht die Formel wie folgt aus:

Man sieht nun, dass die Energie um den Faktor 2 größer ist, was daran liegt, dass die Geschwindigkeit in die Formel nicht linear sondern quadratisch aufgeht.

Ich hoffe ich konnte deine Frage beantworten.

Der Infekt ist vorbei, wenn sich keine Krankheitserreger mehr im Blut befinden. Das ist der Fall, wenn f(t) = 0 ist. Gesucht sind also die Nullstellen der Funktion f.

Dafür kann man die Mitternachtsformel verwenden.

t1 = -0,165 [h]

t2 = 20,165 [h]

Die Lösung t1 stellt keine sinnvolle Lösung dar, da diese negativ ist und somit vor dem Beginn der Krankheit ist. Daher ist t2 die gesuchte Lösung.

Aufgabe:

Alex und Bea vereinbaren folgendes Spiel: Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden zwei Karten gezogen. Haben diese die gleiche "Farbe" (Herz, Karo, Pik, Treff), so gewinnt Alex. Und zwar erhält er vor Bea 0,50€, wenn es zwei Herz-, Karo, oder Pik-Karten sind. Wenn es zwei Treff-Karten sind, erhält er sogar 1,00€. Wenn die Karten von verschiedener Farbe sind, hat Bea gewonnen und erhält von Alex 0,20€. Berechne den durchschnittlichen Gewinn (bzw. Verlust), den Alex pro Spiel erwarten kann!

Lösung:

Die Wahrscheinlichkeit, im ersten und zweiten Zug die gleiche Kartenfarbe zu ziehen, beträgt: P(gleiche Farbe) = 8/32 * 7/31. Das ergibt sich daraus, dass im ersten Versuch von 32 Karten 8 die gleiche Farbe haben, und im zweiten Versuch von den verbleibenden 31 Karten nur noch 7 die gleiche Farbe haben.

Für Herz, Karo und Pik gelten diese Wahrscheinlichkeiten jeweils unabhängig voneinander. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn von 0,50€: P(H,K,P) = 3 * 8/32 * 8/31 = 6/31. Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn von 1,00€ liegt bei: P(T) = 1 * 8/32 * 8/31 = 2/31.

In allen anderen Fällen muss Alex 0,20€ zahlen. Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich durch: P(ungleiche Farbe) = 1 - P(gleiche Farbe) = 1 - (6/31 + 2/31) = 24/31.

Der durchschnittliche Gewinn, also der Erwartungswert, ergibt sich durch die Multiplikation jedes möglichen Gewinns mit seiner Wahrscheinlichkeit und deren Addition:

E = (6/31 * 0,50€) + (2/31 * 1,00€) + (24/31 * (-0,20€)) = 1/155€, was ungefähr einem Gewinn von 0,645ct entspricht.

Es schadet wohl nicht, wenn man ein paar Tage ohne Handy verbringt. Das ist die Zeit, an die man sich später zurück erinnert. Somit stimme ich den Lehrkräften voll zu, obwohl ich damals auch so darüber gedacht hätte.

Nachdem die andere Antwort meiner Meinung nach völlig daneben greift, hier meine Interpretation der Karikatur.
Die Karikatur mit dem Titel "Deutschlands Zukunft" zeigt eine überdimensionale preußische Pickelhaube, die von einer Hand über eine Gruppe kleiner Menschen gestülpt wird. Diese Darstellung symbolisiert die Vormachtstellung Preußens und den Militarismus, der die deutsche Einigung im 19. Jahrhundert prägte.

Die Hand, die den Helm hält, könnte Bismarck repräsentieren, der als preußischer Ministerpräsident und späterer Reichskanzler maßgeblich an der Einigung Deutschlands beteiligt war. Der Akt des Überstülpens des Helms steht sinnbildlich dafür, dass Bismarck seinen Willen der deutschen Bevölkerung aufdrückt. Der Helm, der in seiner Größe die Macht Preußens widerspiegelt, überdeckt die kleinen Figuren, die für die deutsche Bevölkerung stehen. Diese Visualisierung zeigt, dass die Einigung Deutschlands nicht durch einen breiten Konsens, sondern durch die Unterordnung unter die preußische Vorherrschaft erreicht wurde.

Die Pickelhaube selbst, ein typisches Symbol des preußischen Militärs, ist mit einem Adler verziert, der für die preußische und später deutsche Herrschaft steht. Die Karikatur spielt auf die Zeit des Deutsch-Französischen Kriegs an, nach dessen Ende 1871 das Deutsche Kaiserreich gegründet wurde. Dabei wurden die süddeutschen Staaten wie Württemberg, Baden und Bayern in das von Preußen dominierte Reich integriert.

Die Bildunterschrift "Kommt es unter einen Hut? Ich glaube, es kommt eher unter eine Pickelhaube!" stellt die Frage, ob eine echte Einigkeit innerhalb des neuen Reiches möglich ist, oder ob sie lediglich durch militärische Dominanz und Macht erreicht wird. Die Haltung des Zeichners, vermutlich ein Österreicher, deutet darauf hin, dass er eine echte Einheit für unwahrscheinlich hält und eher eine erzwungene Unterordnung sieht. Dies ist nicht überraschend, da Österreich nach dem Deutschen Krieg 1866 aus dem deutschen Einigungsprozess ausgeschlossen wurde.

Insgesamt vermittelt die Karikatur die Ansicht, dass die Einigung Deutschlands weniger eine harmonische Integration als vielmehr eine von Preußen diktierte Unterordnung darstellt.

Ich hoffe, ich kann noch jemandem damit weiterhelfen.