(a) Um die Schlussfolgerungen des Kommissars in logische Formeln umzuwandeln, verwenden wir die Variablen B, K, G und H, die jeweils bedeuten:
B: Der Butler sagt die Wahrheit.
K: Der Koch sagt die Wahrheit.
G: Der Gärtner sagt die Wahrheit.
H: Der Hausmeister sagt die Wahrheit.
Die Schlussfolgerungen des Kommissars können dann wie folgt als logische Aussagen formuliert werden:
1. Wenn der Butler die Wahrheit sagt, dann sagt auch der Koch die Wahrheit:
B \rightarrow K
2. Koch und Gärtner können nicht beide die Wahrheit sagen:
\neg (K \land G)
3. Gärtner und Hausmeister lügen nicht beide:
\neg (\neg G \land \neg H)
4. Wenn der Hausmeister die Wahrheit sagt, dann lügt der Koch:
H \rightarrow \neg K
(b) Um herauszufinden, welche Zeugen sicher lügen oder die Wahrheit sagen, analysieren wir die logischen Aussagen. Wir prüfen alle Kombinationen und schließen dann auf die Wahrheit oder Lüge der Zeugen.
1. Wenn B wahr ist (Butler sagt die Wahrheit):
Aus folgt, dass auch wahr ist (der Koch sagt die Wahrheit).
Aber dann widerspricht das der Aussage (Hausmeister sagt die Wahrheit, Koch lügt), was zu einem Widerspruch führt.
Also kann der Butler nicht die Wahrheit sagen, und damit ist falsch.
2. Wenn B falsch ist (Butler lügt):
Wir wissen nichts Konkretes über den Koch aufgrund dieser Aussage.
3. Wenn H wahr ist (Hausmeister sagt die Wahrheit):
Aus folgt, dass der Koch lügt ( ist falsch).
Aus folgt, dass entweder oder wahr ist, und da wahr ist, ist diese Aussage erfüllt.
4. Wenn G wahr ist (Gärtner sagt die Wahrheit):
Dann würde verletzt werden, weil Koch und Gärtner nicht beide die Wahrheit sagen können.
Also muss der Gärtner lügen, und ist falsch.
Fazit:
Butler (B): Lügt, da seine Aussage zu einem Widerspruch führt.
Koch (K): Lügt, da zeigt, dass er lügt, wenn der Hausmeister die Wahrheit sagt.
Gärtner (G): Lügt, da uns zeigt, dass nicht beide die Wahrheit sagen können.
Hausmeister (H): Sagt die Wahrheit, weil seine Aussagen keine Widersprüche verursachen.
Der Kommissar kann also sicher sein, dass der Hausmeister die Wahrheit sagt und die anderen Zeugen lügen.