Zwischenwertsatz und Nullstellensatz?
Hi Leute,
kann mir jemand die beiden Sätze einfach erklären. War in der Stunde leider nicht da und muss das jetzt nachholen.
2 Antworten
Der Zwischenwertsatz sagt, dass stetige Funktionen jeden Wert zwischen den Funktionswerten der beiden Ränder eines Intervalls annehmen. D.h. sei f(x) stetig, x < y und o.B.d.A. (Ohne Beschränkung der Allgemeinheit der Aussage) f(x) <= f(y). Dann gilt
(sollte f(x) > f(y) sein muß man in der Aussage f(x) und f(y) einfach tauschen).
Beachte das damit NICHT gesagt wird dass es nur ein solches t gibt und damit wird auch nicht gesagt dass es nicht Werte für f innerhalb des Intervalls gibt die über die Funktionswerte der Grenzen hinaus schießen. Aber mindestens alle Werte zwischen den Grenzen werden angenommen.
Der "Nullstellensatz" existiert so nicht. Es gibt unter diesen Namen mehrere mathematische Sätze:
https://de.wikipedia.org/wiki/Nullstellensatz
Vermutlich ist hier der Spezialfall des Mittelwertsatzes gemeint. Wenn f(x) auf [x, y] stetig ist und f(x) < 0, f(y) > 0 (oder umgekehrt) so hat f(x) auf dem Intervall [x, y] mindestens eine Nullstelle.
- Ist f stetig und monoton wachsend, so nimmt f für alle x < y zwischen x und y alle Werte zwischen f(x) und f(y) an.
- Jedes Polynom n-ten Grades mit rationalen Koeffizienten besitzt genau n komplexe Nullstellen.
Bitte mich nicht gleich zum töten, ich bin kein Mathematiker.
zunächst siehe meine Antwort. Die Bedingung "monoton wachsend" ist überflüssig und zu einschränkend. Das was du mit (2) aussagst nennt sich "Fundamentalsatz der Algebra" und nicht "Nullstellensatz". Deshalb muß und will ich dich gar nicht töten. Aber wenn du kein Mathematiker bist, dich also mit dem Thema ausserhalb des Schulwissens nicht wirklich auskennst ist es besser keine Aussage zu machen als statt dessen hier einfach Vermutungen hinzuschreiben.
Das ist leider beides so falsch.