Zufallsschwankungen beim Münzwurf?
Hallo liebe Community, ich wollte ich wieder bei folgender Aufgabe um Hilfe bitten. Ich möchte aber vorher klarstellen, dass ich keine vorgefertigten Lösungen haben möchte, sondern nur Hilfestellungen. Also: Mit dem Computer werden 25er-, 100er und 400er-Serien eines Münzwurfes 1000-mal simuliert. Bei jeder der 1000 Simulationen werde der Abschnitt von "Kopf" ermittelt. Die Auswertung der Versuche ergab die folgende Tabelle: Anzahl der Serien mit der Häufigkeit von "Kopf" im Bereich von: 45% bis 55%: 25er: 334, 100er: 680, 400er: 953 40% bis 600%: 25er: 676, 100er: 960, 400er: 999 35% bis 65%: 25er: 889, 100er: 998, 400er: 1000 30% bis 70%: 25er: 964, 100er: 1000, 400er: 1000
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit von "Kopf" bei einer 25er Serie mehr als 60% beträgt?
- Wie groß ist bei den verschiedenen Wurfserien der Anteil der Simulationsergebnisse, bei denen die relativen Häufigkeiten für "Kopf" um mehr als 0,05 bzw. 0,1 von der theoretischen Wahrscheinlichkeit von 0,5 abweichen?
Danke schon einmal im Voraus und liebe Grüße!
1 Antwort
Die Art von Experiment nennt sich Bernoulli-Kette, die zugehörige Verteilung Binomialverteilung. Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung
Zu 1. Die (kumulierte) Verteilungsfunktion F(X0) gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei einem Experiment die Zufallsgröße X höchstens X0 ist. Hier brauchen wir F(60% * 25).
Zu 2.: Hier brauchen wir z. B. F((0,5+0,05) * N) und 1 - F((0,5-0,05) * N).
Nein, 60% * 25 gibt nur den Wert an, den die Zufallsgröße (Anzahl der "Erfolge") überschreiten soll.
Hierauf müssen wir noch die "kumulierte Verteilungsfunktion" anwenden - siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung#Wahrscheinlichkeitsfunktion.2C_.28kumulierte.29_Verteilungsfunktion.2C_Eigenschaften und hier F(x).
F(0,6 * 25) gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, höchstens 60% "Erfolge" zu haben. Deshalb brauchen wir 1 - F(0,6 * 25) -- dies gibt die Wahrscheinlichkeit an, mehr als 60% "Erfolge" zu haben.
Ähnlich bei Teil 2 -- hier brauchen wir aber 2 Werte, da sowohl die Abweichung nach unten als auch die Abweichung nach oben betrachtet werden müssen.
Besonders bei den großen Zahlen könnt ihr vermutlich auch die Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung verwenden -- die Unterschiede sind bei genügend großen N gering.
tut mir leid :D bin immer noch total verwirrt: muss ich dann bei 1. einfach nur 60%*25 rechnen und beim zweiten einfach (0,5+0,05)*1000-(0,5-0,05)*1000?:)