Zeit-Ort-Gleichung Hilfe?
Hallo, ich war in der letzten Mathestunde leider nicht da und kann gerade deshalb diese Aufgabe nicht lösen. Könnte sie mir jemand erklären o. helfen damit ich dann die b) alleine machen kann.
Aufgabe: Ein Objekt befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (Koordinaten in km) und bewegt sich in Richtung des Vektors u mit der konstanten Geschwindigkeit v km/h
Geben Sie die Zeit-Ort-Gleichung des Objekts an.
a) A(0|0|0), Vektor u = (5 ) , v=260
(12)
( 0 )
2 Antworten
Hallo 20MY02,
zur Schreibweise: Einen Zeilenvektor schreibe ich in einer Umgebung wie dieser als
(1.1) r› = (x, y, z),
einen Spaltenvektor als
(1.2) r› = (x; y; z) = (x | y | z)
schreiben. Das Semikolon bzw. der vertikale Strich steht für einen Zeilenwechsel.
Den Punkt A kann man mit dem Ortsvektor a› von A, dem Pfeil vom Ursprung O aus, identifizieren. In Aufgabe a) ist A=O, also a› der Nullvektor.
Die Gleichung lautet
(2) r›(t) = a› + v›·t = a› + v·t·u›/|u›|.
Der Vektor u›, der die Richtung von v› angibt, ist nämlich im Allgemeinen kein Einheitsvektor, deshalb muss man durch den Betrag von u›,
(3) |u›| = √{‹u,u›} = √{u_x² + u_y² + u_z²},
teilen. In Aufgabe a) ist dies
(3a) |u›| = √{5² + 12² + 0²} = √{25 + 144} = √{169} = 13,
und damit ist mit (260km/h)/13=20km/h
(2a) r›(t) = (0|0|0) + 20km/h·(5|12|0)·t = (100km/h | 240km/h | 0)·t.
Das Objekt bewegt sich in Richtung [5,12,0]. Hiervon benötigst du den Einheitsvektor mit der Länge1: [5,12,0] / sqrt(25 + 144). Die Geschwindigkeit ist 260. Zusammen:
r(t) = [5,12,0] / 13 * 260 * t = [5, 12, 0] * 20 * t
oder wenn du magst: [100, 240, 0] * t
Vielen Dank für die Erklärung :)