Zeigen Sie, dass für die Kapazität des Kugelkondensators gilt?
Ein Kugelkondensator bestehe aus einer Vollkugel mit Radius R1, auf der sich eine positive Ladung Q befindet, und einer Kugelschale mit Radius R2 > R1, auf der sich die Ladung −Q befindet.
a) Zeigen Sie, dass für die Kapazität des Kugelkondensators gilt
Brauche Hilfe.
Gruß
1 Antwort
Um die Kapazität eines Kugelkondensators zu berechnen, verwenden wir die allgemeine Formel für die Kapazität eines Kondensators:
C = Q/V
Dabei ist Q die Ladung auf dem Kondensator und V ist die Spannung (oder das elektrische Potential) zwischen den beiden Platten des Kondensators.
Das elektrische Potential einer geladenen Kugel mit Radius r und Ladung Q ist gegeben durch:
V = kQ/r
Dabei ist k die Coulomb-Konstante, k = 1/4πϵ0, und ϵ0 ist die Permittivität des Vakuums.
Für unseren Kugelkondensator ist die gesamte Spannung zwischen den beiden Kugeln die Differenz der Potentiale der beiden Kugeln, d.h.
V = V2 - V1 = kQ/R2 - kQ/R1 = kQ(1/R2 - 1/R1)
Nun setzen wir dies in die Formel für die Kapazität ein und lösen nach C auf:
C = Q/V = Q/(kQ(1/R2 - 1/R1)) = 1/(k(1/R2 - 1/R1)) = 1/(1/4πϵ0 * (1/R2 - 1/R1))
Multipliziert man die Gleichung mit 4πϵ0, so erhält man:
C = 4πϵ0 * R1 * R2 / (R2 - R1)
Daraus folgt die gegebene Formel für die Kapazität des Kugelkondensators. Bitte beachte, dass die Coulomb-Konstante k gleich 1/4πϵ0 ist. Es ist auch zu beachten, dass die Radien R1 und R2 in Metern ausgedrückt werden müssen, um die Kapazität in Farad (die SI-Einheit der Kapazität) zu erhalten.