Zeigen, dass eine Galilei-Transformation eine Gruppe bildet?
Leider haben wir in der Vorlesung nichts erhalten, was uns helfen könnte, dieses Problem zu lösen. Hat jemand Literatur oder ein Video oder eine gescheite Hilfe parat, dass zeigt, wie ich hier vorgehen muss?
3 Antworten
Du musst einfach die Gruppeneigenschaften nacheinander anwenden. Jede einzelne wird sich bestätigen. Du musst einfach mal anfangen...
Einfach mal anfangen, halte ich für unklug. Ich fange insofern an, als dass ich mir Gedanken mache, wie ich am besten vorgehe. Stimmst du mir zu, dass die Verknüpfung o eine MatrixMultiplikation ist und ich dann Assoziativität a o (b o c) = (a o b) o c dann in etwa so zeige: [(r+vt,t)*(r+r_0,t)]*(r,t+t_0) = (r+vt,t)*[(r+r_0,t)*(r,t+t_0)] ?
Ich denke, die vier Abbildungen sind Erzeuger der Gruppe, du könntest sie also kombinieren und so ein allgemeines Gruppenelement bekommen, etwa so:
(r, t) -> (Rr+vt+r0, t+t0)
Hier wurde erst gedreht, dann geboostet mit Geschwindigkeit v, dann um r0 verschoben und dann auch die Zeit um t0 verschoben. Man kann zeigen, dass ein allgemeines Element der Galilei-Gruppe sich so schreiben lässt (keine Ahnung, wie rigoros das sein soll). Mit solchen Elementen kannst du dann die Gruppenaxiome zeigen.
Nein, das ist eine Kombination aller vier erzeugenden Elemente angewendet auf einen Raumzeitpunkt (r, t).
Verstehe ich überhaupt korrekt, dass die Verknüpfung o dieser eine (Matrix)-Multiplikation ist?
Nein, das ist keine Matrix-Multiplikation. Wenn die Verschiebungen r0 und t0 nicht da wären, könnte man die Operation als 4x4-Matrix auffassen, aber wegen der Verschiebungen ist die Operation nur affin aber nicht linear, lässt sich also nicht als Matrix darstellen.
Wenn sie keine matrix Multiplikation ist, was dann für eine ?
Nun, führe sie zweimal hintereinander aus mit verschiedenen Parametern R1, v1, r01, t01 und R2, v2, r02, t02 und finde es heraus. ;) Ist eine etwas blöde Rechnung, aber nichts Unmachbares.
Ich verstehe das aber nicht. Die Multiplikation dieser Gruppe ist nicht-kommutativ, also was für eine spezielle Multiplikation soll das sein?
EDIT: Kann es nicht sein, dass hier Matrizenmultiplikation mit Addition kombiniert wird?
So in etwa, ja. Aber warum führst du nicht die kleine Rechnung aus und findest es heraus?
Habe jetzt die Aufgabe nach intensiver Recherche durch Literatur und Videos gelöst...
Darf ich fragen was du studierst? Weißt du was eine Gruppe ist? Wie wäre es wenn du mal ein wenig selbst recherchierst und dann mit tatsächlichen, konkreten Verständisfragen kommst? Die Google-Anfrage
"Galilei-Transformation Gruppe"
wirft dutzende von Ergebnissen aus, die dir helfen können zu verstehen was passiert. Aber machen mußt du es schon selbst, sonst wird es nichts mit dem Studium.
Ja, ich weiß, was eine Gruppe ist, ich weiß auch, was ich zeigen soll (Assoziativität, Geschlossenheit, Neutrales Element, usw.), aber ich kann es nicht auf das Beispiel anwenden, weil es etwas komplett Neues ist. Gegooglet habe ich eine Menge und wurde teils mit Matrizen erschlagen ohne ein Fünkchen mehr Verständnis gehabt zu haben. Das einzige, was mir jetzt meine Recherche brachte ist, dass ich weiß, dass die Verknüpfung o ein Produkt von Matrizen ist.
Dann versuche doch mal, die Gruppenaxiome einfach nach und nach auszuprobieren. Hinweis: die 3x3 orthogonalen Matritzen bilden selbst bereits eine Gruppe. Du mußt dazu die vier Verknüpfungen die oben genannt sind in beliebiger Art kombinieren:
https://de.wikipedia.org/wiki/Galilei-Transformation
Die Galilei-Transformation besteht aus folgenden Einzeltransformationen, die miteinander kombiniert werden können:
Wie soll ich sie ausprobieren, wenn ich keine Ahnung habe, was für eine Matrix bzw. Matrizen ich brauche? Ich hatte Lineare Algebra 1 und das ist mein Matrixverständnis. Ich kenne keine Galilei-Matrizen oder so.
Dann mußt du halt erforschen (du studierst, du bist NICHT mehr in der Schule!!!) was eine Rotation ist:
https://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatentransformation#Drehung_(Rotation)
das ist nämlich nichts anderes als eine spezielle Untergruppe der orthogonalen 3x3 Matrizen, und diese sind wiederum eine Untergruppe der regulären 3x3 Matrizen. Sorry, aber es nimmt dir im Studium niemand ab Dinge selbst zu erarbeiten. Die Aussage "Das kam in der Vorlesung nicht dran" zieht nicht.
Nebenbei hast du meine Frage was du studierst noch nicht beantwortet.
Wieso interessiert dich das, was ich studiere?
Damit ich einschätzen kann welchen Berg du mathematisch noch vor dir hast.
Ja, also erstes mal ist mir selber klar, dass ich mir einiges erarbeiten muss im Studium, habe ich auch schon. Aber hierzu fand ich echt nichts brauchbares für mich. Studiengang: Physik.
Ok, das hatte ich vermutet. Bedenke, dass du in Physik tatsächlich eine ganz andere Mathematik benötigst als die Mathematiker. Sie ist deutlich spezialisierter, aber nicht einfacher. Solche Dinge wie Rotationen werden dich das ganze Studium durch begleiten. Später benötigst du Elemente aus der Analysis II (mehrdimensonale Analysis), bei der die meisten Mathematiker (auch ich!) abwinken, weil sie es schon wieder verdrängt haben. Auch die Tensoralgebra, die bei der allgemeinen Relativitätstheorie benötigt wird ist ... speziell, ebenso die Anwendungen der Fouriertransformation in der Quantenmechanik. Das alles steht dir bevor, du tust jetzt bereits gut daran dich daran zu gewöhnen.
@PhotonX und @michiwien22 haben dir ja schon den entscheidenden Hinweis gegeben, und der ist "Anfangen". Sorry, die Arbeit kann dir keiner abnehmen. Schreibe die Formeln für die Gruppenaxiome so hin wie du es denkst und frage ob es so stimmt. Die beiden kennen sich bei dem speziellen Thema deutlich besser aus als ich.
Noch ein Nachtrag. Du mußt die spezielle Form der Rotationen gar nicht kennen. Denn du weißt ja bereits, dass sie eine Untergruppe sind. D.h. beim Finden eines inversen Elementes darfst du immer davon ausgehen, dass es zur Rotation Phi ein Phi^-1 gibt, genau so wie du bei den anderen Operationen voraussetzt dass es das passende Inverse der Addition gibt.
So wie ich das sehe bezieht sich (r, t) -> (Rr+vt+r0, t+t0) auf eine Kombination angewendet auf das zweite Gruppenelement. Falls ja, verstehe ich dich bis dahin.