Wie zeige ich, dass es sich hierbei um einen Gruppenhomomorphismus handelt?
Folgende Aufgabe:
Die a) habe ich mit einem Freund noch gelöst bekommen, aber bei der b) strugglen wir so ein wenig. Was ein Gruppenhomomorphismus ist wissen wir, nur wie genau wir das jetzt zeigen ist unklar.
Erstmal, was tut diese Abbildung?
Diese Abbildung bildet Elemente von G auf die Symmetrische Gruppe (Gruppe der Permutationen) von G ab. Somit wird jedem Element aus G quasi eine Permutation zugeordnet. Die Verknüpfung von S(G) ist einfach sagen wir mal * . * macht folgendes: Wenn man ein Element aus S(G) mit einem anderen Element derselben Gruppe mit * verknüpft, werden diese Permutationen quasi nach einander ausgeführt (richtig??). Also wenn ich bspw habe: (1 3 2 4) * (2 4 3 1) dann ergibt das (1 4 2)(3) (die 3 wird auf sich selbst abgebildet). Um also zu zeigen dass Λ ein Gruppenhomomorphismus ist, muss gezeigt werden:
Λ(g1 ° g2) = Λ(g1) * Λ(g2)
Soweit so gut, aber wie geht es jetzt weiter? Hat jemand Tipps für uns? Wir hängen hier schon eine Weile dran und wissen echt nicht weiter...
1 Antwort
Es ist nicht ganz so kompliziert. Zwei Abbildungen aus der symmetrischen Gruppe sind dann gleich, wenn sie punktweise, d. h. für jedes Gruppenelement gleich sind.
Du hast ja
Λ(h)(g) = h o g
Damit ist
Λ(h o h')(g) = (h o h') o g = h o (h' o g) = Λ(h)(h' o g) = Λ(h)(Λ(h')(g)) = (Λ(h) * Λ(h')) (g). Das gilt für alle g, also
Λ(h o h') = Λ(h) * Λ(h')
Und das genau wolltest du zeigen.
Du schreibst das ja oben selber: Λ ist eine Abbildung von G auf die symmetriesche Gruppe. Das Bild eines Gruppenelements ist also eine Abbildung G->G. Ich kann diese Abbildung wiederum auf ein Gruppenelement anwenden.
Λ bildet also bei mir das h auf die Abbildung Λ(h) ab, die wird im Text auch als f_h bezeichnet. f_h ist eine bijektive Abbildung von G auf sich. Ich kann also f_h auf jedes Element von G anwenden.
Ich hätte vielleicht den Schritt dazwischen aufschreiben sollen, der ist eigentlich überflüssig, aber hilft vielleicht zu deinem Verständnis:
Λ(h o h')(g) = f_(h o h')(g) = (h o h') o g = h o (h' o g) = h o f_h'(g) = f_h (f_h'(g)) = Λ(h) (Λ(h')(g)) = (Λ(h)*Λ(h')) (g).
Das ist das was ich in meiner Antwort zum Teil a) als "Gehirn verknoten" gemeint habe. Es reicht nicht in Prosa zu wissen was du zeigen willst. Schreibe dir genau auf:
- Was wird bei Lambda, f_h und bei der Bijektionsgruppe (was ist das übrigens für ein Buchstabe für diese Gruppe, den kenne ich noch gar nicht...) jeweils abgebildet, d.h. was ist Definitions- und Wertebereich und wie sieht genau die Zuordnungsvorschrift aus?
- Was bedeutet dies jeweils für Verknüpfungen und für die Abbildung von verknüpften Argumenten?
- Was bedeutet die Verkettung von Abbildungen aus der Bijektionsgruppe? Was bedeutet KONKRET die Verkettung von f_h und f_g?
Ich habe ein wenig rum probiert und bin noch nicht da wo @FataMorgana2010 schon ist. Leider habe ich auch bis morgen Abend zu wenig Zeit um da weiter zu kommen. Wie schon gesagt, Algebra gehört zu meinen Schwächen, aber es ist gut mal wieder was zu probieren :-).
Vielen Dank erstmal, aber leider kann ich deinen ersten Schritt nicht so ganz nachvollziehen :( Wie kommst du auf "Λ(h)(g) = h o g", was ist die Verknüpfung zwischen Λ(h) und (g)?