zeige an einem geeigneten dreieck dass sin(45°)=1/2√2?
Wir sollen an einem geeigneten Dreieck zeigen dass sin(45°)=1/2√2 ist. Wie soll ich dies zeigen?
5 Antworten
Zeichne es einfach oder lass es plotten:
Kreis: x² + y² = 1
Hypotenuse: V = (cos(45°), sin(45)°)^{T} aka |V| = 1
Alternativ kann man es auch über die Beziehung zu EXP-Funktionen, Reihenentwicklung, Kosinus oder trigonometrischen Pythagoras zeigen, doch dafür muss man rechnen und das wollen Sie bestimmt nicht. ;)
Falls sie es ausrechnen solen:
trigonometrischer Pythagoras:
sin(45°)² + cos(45°)² = 1
cos(45°) = sin(45°)
sin(45°)² + sin(45°)² = 1
2 * sin(45°)² = 1 | :2
sin(45°)² = 0,5 | √
sin(45°) = √0,5
sin(45°) = √(1/2)
sin(45°) = √1 / √2
sin(45°) = 1 / √2
sin(45°) = 1 / 2^{0,5}
sin(45°) = 1 / (2^{0,5} * 1)
sin(45°) = 2^{0,5} / 2^{0,5 + 0,5}
sin(45°) = 2^{0,5} / 2^{1}
sin(45°) = √2 / 2
Dies geht mit dem Einheitskreis.
Der Radius ist dort "1".
Bei Sinus 45° bildet dann der Radius mit dem Sinus und Cosinus Anteil ein Rechtwinkliges Dreick (analog zum GeoDreieck)
Dann den Pythagoras verwenden. (mit der langen Seite = 1)
Zeichne doch mal ein geeignetes rechtwinkliges Dreieck! Wenn einer der anderen Winkel 45° hat, ist auch der dritte Winkel 45°, also hast du ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck ist quasi ein über die Diagonale durchgeschnittenes Quadrat.
Berechne mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Hypotenuse dieses Dreiecks, wenn du die Katheten (sind gleich lang) gleich 1 setzt. Die Hypotenuse hat dann die Länge Wurzel aus 2.
Und dann berechne mit der Kathetenlänge 1 und der Hypotenusenlänge W(2) den sin(45°).
Was erhälst du? Den Nachweis, dass sin(45°) = 1/2 * W(2) ist.
Wenn man eine Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 betrachtet, hat sie die Länge Wurzel(2). Außerdem erzeugt sie einen Winkel von 45° wo die Diagonale Hypotenuse ist und eine Seite des Quadrats Gegenkathete ...
am besten rechnest du mithlfe von tangens alpha den winkel aus und giebst ihn dann an damit zeigst du auf das tatsächlich der winkel 45 grad gegeben ist gerne auch mit einer zeichnung danach