Sinussatz Anwendung?

Hallo,

ich habe folgende Frage zur Definition des Sinussatzes: Warum darf man in dem angehängten Bild nicht die Beziehung aufstellen sin(30)/sin(40) = ha/ha

Also ja, wenn man sich die Formel betrachtet macht es schon keinen sind, weil sind (30)/40 nicht 1 ergibt. Heißt das, dass der Sinussatz nur auf die "Außenlinien" des Dreiecks angewendet werden dürfen? Also in meinem Beispiel auf a und d (auf die Linien, die das Grundgerüst des Dreiecks bilden) kann man das irgendwie beweisen?

Answer 1

[Halbrecht]

wenn man sin(30)/sin(40) in Beziehung setzt , müsste man sich auf das ganze , nicht-rechtwinklige Dreieck , beziehen

Das wäre dann der Sinussatz für allgemeine Dreiecke ( nix 90 Grad ) 

Der sähe dann so aus

sin(30)/sin(40) = a/d

.

Sobald man ha dazu nimmt , muss man entweder im rechten oder im linken Dreieck bleiben

sin(30) = ha/d

sin(40) = ha/a

man könnte jetzt beide Glg nach ha auflösen und gleichsetzen und käme dann zu

sin(30)*d = sin(40)*a 

was dasselbe wie oben wäre

Answer 2

[evtldocha]

Na ja - im linken rechtwinkligen Dreieck wäre die Hypotenuse d und daher:

$h_a=\sin\left(30°\right)\cdot\ d$

im rechten rechtwinkligen Dreieck wäre die Hypotenuse a und daher:

$h_a=\sin\left(40°\right)\cdot a$

Soweit hat das noch nichts mit dem Sinussatz zu tun (hier wird nur der Sinus und dessen Definition "Gegenkathete / Hypotenuse" benötigt. Einen Sinussatz braucht man hier schon deswegen nicht, weil es sich um 2 rechtwinklige Dreiecke handelt, wenn man die Höhe über c einzeichnet, die dann eigentlich den üblichen Konventionen folgend auch h_c heißen sollte). Wenn Du aber nun

$h_a​=\sin⁡(30°)\cdot d=\sin⁡(40°)\cdot a$

setzt, hast Du einen Teil des Sinussatzes für dieses nicht rechtwinklige große Dreieck (und hierfür ist der Sinussatz adäquat), nämlich:

$\frac{\sin\left(30°\right)}{a}=\frac{\sin\left(40°\right)}{d}$

Als Merkregel: Der Sinussatz besagt die Gleichheit der Verhältnisse des Sinus von Winkeln und den Längen ihrer gegenüberliegen Seiten (weshalb eine sorgfältige Beschriftung von Dreiecken auch so essenziell ist, um ihn korrekt anzuwenden)

"Mit Kanonen auf Spatzen schießend" kannst Du den Sinussatz selbstverständlich auch auf jedes der 2 kleinen rechtwinkligen Dreiecke anwenden, dann hast Du beispielsweise für das rechtwinklige Dreieck links (der der Seite "d" gegenüberliegende Winkel beträgt in diesem betrachteten Dreieck 90°):

$\frac{\sin\left(90°\right)}{d}=\frac{\sin\left(30°\right)}{h_a}$

was aber wegen sin(90°) = 1 auf:

$\frac{1}{d}=\frac{\sin\left(30°\right)}{h_a}\ \to h_a=d\cdot\sin\left(30°\right)$ hinausläuft und was sich für rechtwinklige Dreiecke schon alleine aus der Definition der Sinusfunktion ergibt.

Mit anderen Worten: Dein "sin(30)/sin(40) = ha/ha" ist keine korrekte Anwendung des Sinussatzes - weder für das große noch die kleinen Dreiecke.

Answer 3

[RonaId]

Nein, darf man nicht.

sin(30°)=ha/d
sin(40°)= ha/a
sin(30°)/sin(40°)=a/d (ha kürzt sich raus)

oder umgestellt:

a/sin(30°)=d/sin(40°), was dem Sinussatz entspricht.